Wann ist das Integral(0 bis 2pi) von cos^n*sin^m = 0?
Bei Integralen über periodische Intervalle kann man ja z.B. bei cos*sin schnell sagen, dass dieses 0 wird. Kann man solche Aussagen auch für beliebige Konstellationen, allgemein cos^n*sin^m treffen ?
4 Antworten
Verschieben wir mal die Funktion cos(x)^n * sin(x)^m um Pi nach links =>
g(x) := cos(x+Pi)^n * sin(x+Pi).
Nun untersuchen wir diese Funktion auf Punktsymmetrie:
-g(-x) = -(cos(-x+Pi)^n) * (sin(-x+Pi)^m) = -(cos(x+Pi)^n)*((-1)^m*sin(x+Pi)^m) =
(-1)^(m+1)*(cos(x+Pi)^n * sin(x+Pi)^m) = (-1)^(m+1)*g(x).
Falls m ungerade => (-1)^(m+1) = +1 => -g(-x) = g(x) => int von -Pi bis Pi = 0 bzw. zurückverschoben int von 0 bis 2 Pi = 0
Falls m gerade => ... -g(-x) = -1*g(x) <=> g(-x) = g(x) => int ...
bzw. zurückverschoben int von 0 bis 2 Pi = 2*int von 0 bis Pi.
Das Integral ist also für alle ungeraden m gleich 0. Bin mir aber gerade nicht sicher, ob dies der einzig mögliche Fall ist.
Ich gehe mal davon aus, dass es sich bei m, n um natürliche Zahlen handelt.
Wenn m ungerade ist oder n ungerade ist, so ist der Wert des Intrgrals gleich 0 ...
..., was man mit Symmetrie begründen kann.
Wenn m und n gerade sind, so kann man zeigen ...
Meinst du cos(x) ^ n * sin(x) ^ m oder was meinst du ?
Ok
Ganz exakt kann ich es dir nicht beantworten, weil das Integral heftig kompliziert ist.
Aber ich habe herausgefunden, dass wenn folgendes gilt :
|n - m| = 1 bzw. abs(n - m) = 1
| ... | = Betrag
dass dann das von dir genannte Integral den Wert Null hat.
Beispiele :
n = 2 und m = 3
n = 7 und m = 6
usw.
Also wenn die Differenz zwischen n und m den Wert 1 oder - 1 hat, betragsmäßg gesehen also 1, dann hat das von dir genannte Integral den Wert Null.
Du kannst allgemein für alle m ungerade sagen, dass das Integral 0 wird, da der Integrand dann zu einer punktsymmetrischen Funktion um Pi wird.
Ja, habe ich inzwischen auch bemerkt, daher meine zweite Antwort, du hast vollkommen recht !
Ich habe jetzt noch mehr entdeckt :
Wenn folgendes gilt :
n >= 0 und m >= 0
n und m Elemente der ganzen Zahlen
m = n + (2 ^ k) mit k Element der positiven ganzen Zahlen einschließlich Null
oder
n = m + (2 ^ k) mit k Element der positiven ganzen Zahlen einschließlich Null
dann hat das von dir genannte Integral den Wert Null.
Das passt so nicht. Für m = 2 und n = 0 findet man beispielsweise k = 1 mit m = n + 2^k. Allerdings ist der Integralwert nicht 0, sondern π.
ja genau das