Wie löse ich diese trigonometrische Gleichung mit Hochzahlen?

sin ^2 (x) + 2 * cos^2(x) = 2 (im Intervall von 0 bis 2Pi)

Habe erstmal durch zwei geteilt also sin^2(x) + cos^2(x) = 1

nun komme ich nicht weiter..

kann mir jemand helfen?

Answer 1

[FelixFoxx]

sin²x+2cos²x=2 |sin²x+cos²x=1

1+cos²x=2

cos²x=1

cos(x)=1 oder cos(x)=-1

x=0 oder x=Pi oder x=2Pi

Comments

[SlowPhil]

Die Antwort ist gut und knackig, aber mit einem Intervall von 0 bis 2π ist entweder [0, 2π[ oder ]0, 2π] gemeint, keinesfalls aber [0, 2π], weil dann die Stelle φ=0 bzw. φ=2π doppelt gezählt wäre.

[FelixFoxx]

@SlowPhil

Dies war nicht eindeutig angegeben, aber Du hast recht, entweder ist die 0 drin oder 2 Pi.

[Zwieferl]

@SlowPhil

Die beiden Stellen würden nicht "doppelt gezählt", sondern es wären 2 verschiedene Nullstellen!

Das Intervall kann sehr wohl [0; 2𝜋] lauten!

Answer 2

[Volens]

Das geht so auch nicht, denn    cos (2x) ≠ 2 cos (x)

Das erste ist sin² (x)   und bedeutet  (sin (x))²; man schreibt es lieber mit sin² , weil man dann Klammern spart und die Sache übersichtlicher wird.

Hier musst du mit einem anderen Gesetz arbeiten:   sin² x + cos² x = 1
(Wenn die Schreibe ganz klar ist, kann man sich auch die Klammern um das Argument x sparen.)

Nehmen wir also deine Gleichung her:

sin² x + 2 * cos²x            = 2              |  anders geschrieben
sin² x + cos² x + cos² x  =  2              |  zusammenfassen
            1        + cos² x  =  2              |  -1
                         cos² x  =  1              |   √
                          cos x  =  1

Das ist der Fall bei 0 (0°)  und  2π (360°)                              

IL = { 0; 2π }

Wenn du die Probe machst, stimmt das auch in dem gegebenen Intervall.
Es sind die Grenzen.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Comments

[SlowPhil]

Letzer Satz ist falsch, ich hatte mich verlesen.

[SlowPhil]

2π würde ich hier übrigens ausschließen, denn bei φ=2π ist die Situation in jeder Hinsicht dieselbe wie bei φ=0. Wenn man einen Definitionsbereich zwischen 0 und 2π ansetzt, geht man von [0, 2π[ aus, nicht von [0, 2π]. Der FS sprach allerdings wohl ohnehin von [0, π].

[Volens]

fjf100 hat recht: π  ist auch noch eine Lösung.
Hätte ich fast übersehen. Daher:

IL = { 0; π; 2π }

[Volens]

@Volens

Die endgültige Aufösung war nämlich   cos x = ± 1
weil ich ja aus dem Quadrat gekommen bin.
Ja, es ist schon ganz schön spät.

Answer 3

[fjf100]

aus den Mathe-Formelbuch "Zusammenhang zwischen den Funktionswertenbei gleichen Winkel (trigonometrische Funktionen)

cos(a)=+/-Wurzel(1-sin²(a)) ergibt cos²(a)=1-sin²(a) eingesetzt

sin²(a)+2*(1-sin²(a)=2 ergibt sin²(a)+2-2*sin²(a)=2 ergibt

sin²(a)-2*sin²(a)=0

Nullstellen von y=f(x)=sin(x) bei x=k*pi mit k=0,1,2,3....

mit k=0 erste Nullstelle bei x1=0

nächste Nullst. bei x=1*pi x2=pi

3.te Nullstelle bei x=2*pi

Probe sin²(0)+2*cos²(0)=2*1=2 stimmt

          sin²(pi)+2*cos²(pi)=2*(-1)²=2 stimmt

             sin²(2*pi)+2*cos²(2*pi)=2*(-1)²=2 stimmt auch

Hinweis: sin²(a)-2*sin²(a)=-1*sin²(a) geht auch

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Comments

[SlowPhil]

Ich würde entweder φ=0 oder φ=2π ausschließen. Ansonsten wird ein und derselbe Punkt doppelt gezählt.

Answer 4

[ethan227]

$\sin^2x\ \ +\ 2\left(\cos^2x\right)\ =\ 2$ $-\ \cos^2x\ +\ 2\cos^2x\ -1\ =\ 0$ $\cos^2x\ \ =\ 1,\ \cos\ x\ =\ \pm1$ $\ x\ =\ 0,\ x\ =\ \pi$ Selbstverständlich musst Du Dir überlegen, die Identität von

$\sin^2x\ +\ \cos^2x\ =\ 1\$ zu benutzen, damit Du die Berechnung der gesamten Gleichung in den nächsten Schritten vereinfachen kannst. 😁

Auch zu dieser Behauptung, dass

$f\left(x\right)\ =\ \sin^2x\ und\ g\left(x\right)\ =\ 2\sin x$ beide gleich sind, würde ich mal sagen, dass sie mit Abstand keinen Hinweis zeigen, dass die beiden Werte gleich sind.