Warum kann man das Integral nicht über eine Wurzel lösen?
Hallo,
ich wollte gerade folgendes Integral lösen:
Integral( x/wurzel(1-x^2))dx lösen und wollte eigentlich mit x=sin(u) substituieren, sodass im Nenner dann cos(u) steht, was sich wegkürzen würde.
Warum darf man das nicht so lösen? mein Integrationsprogramm löst das nämlich anders.
Vielen Dank im Voraus :)
3 Antworten
Das kann man auch mit Substitution x = sin(u) lösen. Nur weil dein Programm einen anderen Weg vorschlägt, heißt das noch lange nicht, dass andere Wege falsch sind. Es gibt meist mehr als einen Lösungsweg.
Man könnte das also beispielsweise folgendermaßen mit Substitution x = sin(u) lösen:
Man könnte aber auch beispielsweise u = 1 - x² substituieren:
Ich persönlich würde hier sogar u = sqrt(1 - x²) substituieren:
Vielen herzlichen Dank für diese Antwort :D Ich hatte zu früh rebsubstituiert und dadurch ein falsches Ergebnis, was absolut blöd von mir war zumal da ja noch stand int(sin(u) du) und ich resubstituiert habe. Das war wirklich blöd
Und wo liegt das Problem?
x:=sin(u) => dx=cos(u)*du, u=arcsin(x)
int(x/sqrt(1-x^2)dx = int((sin(u)/cos(u))*cos(u)*du = int(sin(u))du = -cos(u) + c=
-cos(arcsin(x)) + c = sqrt(1-x^2) + c
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int(x%2F(1-x%5E2)%5E(1%2F2))dx
Es kommt das raus, was rauskommen soll.
Ich habe zu früh resubstituiert. Ich habe bereits in int(sin(u))du dann u=arcsin(x) eingesetzt und kam dadurch dann wieder auf x. Blöder Fehler :/
Du musst bei der Substitution aber manchmal aufpassen. Angenommen es würde sich hier um ein bestimmtes Integral mit Integralgrenzen größer 1 oder kleiner -1 handeln, dann könntest du nicht einfach mit x:=sin(u) substituieren, weil der Sinus ja keine Werte größer bzw. kleiner als +-1 erzeugen kann.
Hier ist es aber kein Problem, da x durch die Wurzel ja sowieso nur € [-1,+1] sein darf. x:=sin(u) ist also gültig, weil der Sinus im Abschnitt von z.B. sin(-Pi)=-1 und sin(Pi)=1 sogar umkehrbar ist.
Das geht per Substitution.
Allerdings mit einer anderen -->
u = 1 - x ^ 2
https://www.integralrechner.de/
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Ups ich bin so doof :D Hatte mich verrechnet, bei dieser ganzer Substituiererei! Aber mega cool, dass Sie mir gezeigt haben, dass das sehr wohl funktioniert :D Vielen Dank :D Hatte ich schon gewundert, warum das nicht gehen sollte. Vielen lieben Dank :D