Nullstellen - periodische Funktion?
Ist es möglich, bei einer beliebigen, periodischen Funktion f(x) die Nullstellen in einem bestimmten Intervall [a;b] zu berechnen?
Z.B. bei der Funktion f(x) = 2+cos(x)/sin^2(x) im Intervall [0;π]
6 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RIDDICC/1514118406711_nmmslarge__377_0_256_256_4d25821de49a0a50641820db6fe23eed.png?v=1514118407000)
naja... wann wird ein Bruch denn Null? z. B. wenn sein Zähler 0 ist... oda?
also wann wird cos(x) denn 0...
ne andere Möglichkeit wäre dass der Grenzwert an der Stelle x von beiden Seiten 0 ist, wenn cos(x) zwar nicht 0 ist, abea dafür sin²(x) „unendlich“... das wird aber nicht passieren, weil sin²(x)<=1 ist...
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ohne Umformung meistens nicht
0=2+cos(x)/sin^2(x) multipliziert mit sin^2(x)
0=2*sin^2(x)+cos(x)
siehe Mathe-Formelbuch "Potenzen von trigonometrischen Funktionen"
sin^2(x)=1/2(1-cos(2*x) ergibt
0=1-cos(2*x)+cos(x)
siehe "Doppelte und halbe Winkel"
cos(2*x)=2*cos^2(x)-1 ergibt
0=1-(2*cos^2(x)-1)+cos(x)
0=-2*cos^2(x)+1+1+cos(x)
0=-2*cos^2(x)+cos(x)+2 dividiert durch -2 und Substituion z=cos(x)
0=z^2-1/2*z-1
Mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio)
Nullstellen bei z1=-0,78 und z2=1,2807
z1=-0,78=cos(x) ergibt x=arccos(-0,78)=2,46546.. Rechner auf rad einstellen
z2=1,2807=cos(x) ergibt x=arccos(1,2807)= Error fällt also weg ,geht nich
Probe= 2+cos(2,465..)/sin^(2,465..)=8,91*10^-3=0 Rundungfehler beachten!
In "Handarbeit" mußt du die Nullstellen mit der p-q-Formel berechnen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ein Bruch ist immer dann Null, wenn der Zähler Null wird, in diesem Fall cos(x).
Und cos(x) wird Null bei x=...,-3/2pi, -1/2pi, 1/2pi, 3/2pi, 5/2pi, ...
Hiervon liegt in Deinem Intervall nur 1/2pi.
Sicherheitshalber noch prüfen, ob die ermittelten Werte nicht evtl. Definitionslücken sind (in diesem Fall nicht) und fertig...
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wenn du die Länge der Periodizität kennst, kannst du aus einer Nullstelle unendlich viele weitere konstruieren.
Schreibe f(x) als 2+cot(x)/sin(x). Da cot die Periode π/2 und sin die Periode π hat, ist f auch π-periodisch.
Wenn du nun ein a mit f(a)=0 findest, sind auch alle a+nπ mit ganzem n Lösungen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
Klar, warum nicht. Die genannte Funktion hat halt bei 0, pi, 2pi usw. Polstellen, aber wenn der Bruch -2 wird, hat sie auch Nullstellen.