Punktprobe (Vektoren)?
Hallo kann mir jemand bei der a) helfen ? Ich habe schon rausgefunden, dass nur Punkt P und Q auf der Geraden g liegen? Doch wie finde ich heraus, ob sie auf der Strecke AB liegen? Kann es mir jemand ausführlich bitte erklären?
2 Antworten
Die Gerade g hat die Gleichung:
Dabei ist der Ortsvektor von A der Stützvektor und der Vektor AB ist der Richtungsvektor.
Nun ist es immer so, dass man bei r = 0 den Punkt A erhält und bei r = 1 den Punkt B. Das ergibt sich zwangsläufig aus der Herleitung der Geradengleichung. Daraus kann man wiederum schließen, dass gelten muss: 0 ≤ r ≤ 1 wenn der Punkt auf der Strecke AB liegen soll. Für r < 0 liegt der Punkt außerhalb von AB auf der Seite von A und für r > 1 liegt der Punkt außerhalb von AB auf der Seite von B.
Beispiel Q:
x-Koordinate zur Bestimmung von r:
2 + 2r = 3
2r = 1
r = 0,5
Überprüfung mit y-Koordinate, ob Punkt auf g liegt:
2 + 0,5 * 4 = 4 ...stimmt
Überprüfung mit z-Koordinate, ob Punkt auf g liegt:
4 + 0,5 * -2 = 3 ...stimmt
Ergebnis: Punkt Q liegt auf der Geraden und weil r zwischen 0 und 1 liegt auch auf der Strecke AB.
Wenn man die Geradengleichung aus A und B aufgestellt hast, ist das immer so.
Aber wie genau soll ich 0 einsetzen für A wenn ich es einsetze in die gleichung kommt ja ein neuer Vektor raus
Du sollst nicht A = 0 setzen, sondern r = 0. Damit gibt es keinen Richtungsvektor mehr und es bleiben nur noch die Koordinaten für A stehen.
Wenn du r = 1 setzt, wird von A aus in Richtung B gegangen und zwar genau mit dem Abstand von AB, weshalb man dann bei den Koordinaten von B landet.
Du kannst es ja mal rechnerisch überprüfen:
g mit r = 0:
(2/2/4) + 0 * (2/2/-2) = (2/2/4) = A
g mit r = 1:
(2/2/4) + 1 * (2/2/-2) = (4/4/2) = B
gemäß dem hier unten , muss t in einem bestimmten Intervall liegen
.
( 2 2 4 ) + t * ( 2 2 -2 )
mit t = -1 .......... 0 0 6
mit t = 0.5 ......... 3 3 3
.
B wird mit t = 1 erreicht , also t zwischen 0 und 1 ,was nur 3 3 3 erfüllt
.
Also nochmal
- man springt mit A 2 2 4 auf die Gerade ( 2 2 4 ) + t * ( 2 2 -2 )
- will man zu B kommen muss man t = 1 wählen
- zwischen A und B ( der Strecke ) liegen alle Punkte der Strecke
- wählt man ein t , was kleiner 1 ist , kommt man nicht bis B , sondern bleibt irgendwo zwischen A und B
- mit t = 0.5 kommt man zu 3 3 3 , der somit Punkt auf AB ist
mit t = -1 gelangt man zu 0 0 6 , also auf die Gerade vor !!!!! A
Ich verstehe leider nicht, wie man dieses Intervall bestimmt bzw. wie man sieht in welchem intervall t liegen muss
mit t = 1 erhält man aus A ( 2 2 4 )
( 2 + 1* 2 = 4 )
(2 + 1* 2 = 4 )
4 * 1 * -2 = 2)
( 4 4 2 ) den Punkt B . ist t zwischen 0 und 1 erhält man Punkte zwischen A und B
Man kommt also immer auf Punkt A wenn man 0 einsetzt für r und auf Punkt B wenn man 1 einsetzt also ganz unabhängig von der gleichung?