Punktprobe und Lage zweier Geraden im Raum bestimmen?
Guten Abend,
ich muss nochmal kurz zur Bestätigung zwei Fragen stellen:
-Wenn bei der Punktprobe gefragt wird ob ein Punkt auf einer Geraden im Raum liegt und man dreimal das gleiche Ergebnis für r bekommt so liegt der Punkt entweder auf der Geraden oder auf der Strecke. Wenn das Ergebnis für r 0-1 ist, liegt der Punkt auf der Geraden und Strecke. Sobald der Wert für r unter 0 oder über 1 ist so liegt der Punkt nur auf der Geraden und nicht mehr auf der Strecke oder?
- Um die Lage zweiter Geraden im Raum zu beschreiben gibt es ja mehrere Möglichkeiten (Windschief, Identisch, Echt parallel oder schneiden sich). Wenn ich die 2 Geraden per LGS löse und für r und s oder x und y zwei verschiedene Lösungen bekomme so ist die Lage als windschief zu beschrieben oder? Wenn ich für r und s 2 gleiche Zahlen als Lösung habe, so schneiden sich beide Geraden?
Ich bin dankbar für eure Hilfe, denn ich hab mich glaube ich selber verwirrt
1 Antwort
Was meinst Du denn mit "auf der Geraden und/oder auf der Strecke"?
Eine Strecke ist quasi eine begrenzte Gerade.
Hier geht es doch generell um Geraden! (g: Vektor x=Ortsvektor + r * Richtungsvektor).
Erhältst Du bei der Punktprobe für jede Koordinate (x, y und z) denselben Wert für den Parameter r, dann liegt der geprüfte Punkt auf der Geraden, fertig! Wenn Du das r "unbedingt" interpretieren möchtest: je größer der Betrag von r, desto weiter liegt der geprüfte Punkt vom "Startpunkt" (Ortsvektor) der Geraden entfernt. Denn Du beginnst ja am Startpunkt und bewegst Dich von dort r-mal um den Richtungsvektor auf der Geraden zum entsprechenden Punkt. Ist das r negativ, dann geht es in die entgegengesetzte Richtung des Richtungsvektors.
Bzgl. der Lagebeziehung: zuerst prüfst Du, ob die Richtungsvektoren vielfache voneinander sind. Wenn ja, dann sind die Geraden entweder identisch oder parallel; wenn nicht dann sind sie entweder windschief oder haben einen Schnittpunkt.
Danach ermittelst Du aus dem LGS mit 2 der 3 Gleichungen (egal ob die bzgl. x und y, oder x und z, oder y und z) die Parameter r und s (oder wie sie auch immer heißen mögen) der setzt deren Werte in die übrige Gleichung ein. Kommt ein wahres Ergebnis raus, dann sind die Geraden identisch (im Falle, dass die Richtungsvektoren vielfache sind) bzw. haben einen Schnittpunkt, falls die Richtungsvektoren keine vielfachen voneinander sind. Kommt bei der dritten Gleichung ein falsches Ergebnis raus, dann sind die Geraden parallel bzw. windschief.