Habe ich die Ortskurve richtig bestimmt?

Ich habe die funktionenschar

$f_a(x)=-\frac{x^4}{4}+ax^2-1$ Ich soll die gleichung der ortskurve der Hochpunkte berechnen

Meine Lösung: HP ( wurzel 2a / - 1/a^2)

Die Ortskurve lautet:

$f(x)=\frac{4}{x^4}+1$ Stimmt es?

Answer 1

[mihisu]

Wie du bei den Hochpunkten auf -1/a² als y-Koordinate kommst, erschließt sich mir nicht.

Außerdem gibt es neben √(2a) auch -√(2a) als Stelle für einen Hochpunkt. [Die Hochpunkte existieren natürlich nur für a ≥ 0.]

$f_{a}(\pm\sqrt{2a})=-\frac{1}{4}\cdot \left(\sqrt{2a}\right)^4+a\cdot \left(\sqrt{2a}\right)^2-1$

$=-\frac{1}{4}\cdot 4a^2+a\cdot 2a-1$

$=-a^2+2a^2-1$

$=a^2-1$

Die Hochpunkte befinden sich also bei (±√(2a) | a² - 1).

$x=\pm\sqrt{2a}\ \Leftrightarrow \ x^2=2a\ \Leftrightarrow \ a=\frac{x^2}{2}$

$y=a^2-1=\left(\frac{x^2}{2}\right)^2-1=\frac{x^4}{4}-1$

Also ist die Gleichung der Ortskurve y = x⁴/4 - 1.