Aufgabe funktionenschar?
Die funktionenschar lautet: - (x^3 -3ax^2) / 144
Ich soll zeigen dass alle extrema des graphen auf dem graphen der funktion - 1/288 *x^3 liegen.
Klar ich bestimme die extrema sund dann ihre ortskurve
Das problem ist dass ich nicht die extrema berechnen kann. Wie mache ich das? Ich bekomme einmal (0/0) und einmal (-2a/ - 7a^3/72)
3 Antworten
Hallo,
das kannst Du gar nicht nachweisen, weil es falsch ist.
Die Ortskurve der Extrema lautet g(x)=x³/288 und nicht -x³/288.
Für die Extrema bildest Du die Ableitung der Funktion nach x:
(-1/144)*(3x²-6ax) und setzt sie gleich Null.
Das gibt einmal x=0 (alle Sattelpunkte der Funktionenschar für ungerade a liegen bei (0|0), desweiteren Extrema der Funktionen mit geradem a).
Für die zweiten Extremstellen teilst Du 3x²-6ax durch x, bekommst 3x-6a und setzt das gleich Null (die -1/144) davor spielen bei der Nullstellensuche keine Rolle.
3x=6a, also x=2a.
In Abhängigkeit von a liegen diese Extremstellen also da, wo x doppelt so groß wie a ist. Für a=2 etwa bei x=4, für a=-1 bei x=-2 usw.
Diese Werte für x kannst Du dann in die Ortskurve eingeben, um auf die y-Koordinate zu kommen.
Herzliche Grüße,
Willy
Das problem ist dass ich nicht die extrema berechnen kann. Wie mache ich das? Ich bekomme einmal (0/0) und einmal (-2a/ - 7a^3/72)
Doch, das kannst du.
Du hast die beiden x-Werte rausgekriegt:
x1 = 0
x2 = 2a (hier muss dir ein Vorzeichenfehler passiert sein.)
Das setzen wir in die Funktionsgleichung ein, um die Extrempunkte zu bestimmen:
E1:
f(0) = 0
E1(0/0)
das bedeutet, dass dieser Punkt unabhängig von a ist. Daher geht die Ortskurve auf jeden Fall durch den Ursprung.
E2:
f(2a) = 1/144 * (8a^3 - 12a^3) = -4/144 * a^3
E2(2a / -4/144 * a^3)
Um die Ortskurve rauszukriegen, müssen wir das a durch x ersetzen:
aus x = 2a (siehe oben) folgt:
a = x/2
Das setzen wir in f(2a) = -4/144 * a^3 ein:
f(x) = -4/144 * (x/2)^3 = -4/144 * x^3 / 8 = -1/288 * x^3
q.e.d.
Kannst du vielleicht bei meiner letzten frage vorbeischauen? Habe Probleme mit der ableitung einer funktion...
Du hast bei der Ortskurve einen Vorzeichenfehler:
Setzt Du für a x/2 ein, bekommst Du (-1/144)*(x³-(3/2)x³)=(-144)*(-(1/2)x³)=(1/288)*x³. Die beiden Minus heben sich auf.
Setzt Du für a x/2 ein
Und wo setzt du das ein? Ich setzte das in f(2a) = -4/144 * a^3 ein.
Wo kommt (-1/144) her?
Steht doch in der Gleichung der Funktionenschar: -(x³-3ax²)/144.
Zieh die /144 nach vorn, dann steht da (-1/144)*(x³-3ax²).
Leitest Du das nach x ab, bleibt (-1/144) als konstanter Faktor erhalten und Du bekommst (-1/144)*(3x²-6ax).
Ups, da habe ich wohl tatsächlich das kleine Minus am Anfang übersehen....
Dann würde in der Tat die Ortskurve lauten:
f(x) = x^3 / 288
.... was mir mein Funktionenplotter auch bestätigt.
Du setzt die x-Koordinate für x ein, berechnest die y-Koordinate aus der Funktion und vergleichst diese mit der y-Koordinate des Extrempunktes.
Ja aber wie berechne ich überhaupt den extrempunkt?? Stimmt mein Ergebnis?
f(x) = - (x^3 -3ax^2) / 144;
f'(x) = -3/144 * x² + 6a/144 * x;
Dann f'(x) gleich 0 setzen und ausrechnen.
Ob dein Ergebnis stimmt kannst du mittels Einsetzen herausfinden:
f'(0) = 0 + 0 = 0; Passt
F'(-2a) = -3/144 * 4 * a² - 6a/144 * 2 * a = 1/144 * (-12 a² - 12 a²) = 1/144 * (-24 a²); Passt nicht, aber vielleicht habe ich mich auch irgendwo beim Vorzeichen vertan.
Und bei E2, Wo hast du 2a eingesetzt? Weil das ist nicht die gleichung von f(x)