Nullstellen einer Funktion 3. Grades?
Hey,
Gegeben: eine ganzrationale Funktion ist symmetrisch zum Ursprung und besitzt den Tiefpunkt T(-4/-4).
Aufgabe: Was kann über die Anzahl der Nullstellen gesagt werden.
Die Lösung ist 3:
Ich verstehe aber die Antwort nicht richtig. Kann mir es jemand mit „leichteren Worten“ erklären oder vllt. auch mit einer Grafik?
Danke
1 Antwort
Mathematich gesehen können wir die Funktion mit den Daten durch Polynominterpolation erstellen und dann die drei Nullstellen berechnen und somit aufzeigen, dass es drei Nullstellen hat.
Die Punkte wären dann T(-4|-4), S(0|0) und H(4|4), da der Tiefpunkt mit T(-4|-4) gegeben ist, die Funktion Punktsymmetrich zum Ursprung ist, also S(0|0) haben muss, und da sie eben Symmetrich zum Ursprung ist das Gegenteil des Tiefpunkts als Hochpunkt H(4|4) haben muss.
Wir erhalten f(x)=-1/32 x³ + 3/2 x
Nur noch Nullstellen berechnen:
f(x) = -1/32 x³ + 3/2 x
0 = -1/32 x³ + 3/2 x
0 = (-1/32 x² + 3/2)x | Satz des Nullprodukt
x₁ = 0
0 = (-1/32 x² + 3/2)x | :(x)
0 = -1/32 x₂,₃² + 3/2 | -3/2
-1/32 x₂,₃² = -3/2 | *(-32)
x₂,₃² = 48 | sqrt
x₂,₃ = +- sqrt(48)
x₂ = sqrt(48) = 6,9282032302755092...
x₃ = -sqrt(48) = -6,9282032302755092...
-> Hat 3 Nullstellen
Alternativ können wir Logik benutzen:
Punktsymmetrich und Grad 3:
...x³ + ...x mit ... ungleich 0
Hat Kurven und T(-4|-4):
-...x³ + ...x
-> H(-4|-4)
-> Damit es von T(-4|-4) nach H(-4|-4) kommt, muss die Funktion dort nach oben verlaufen und dabei einmal P(...|0) schneiden (erste Nullstelle).
-> Da Sie nur zwei Extrema hat kann sie maximal 3 Nullstellen haben.
-> Da sich bei T das Steigungsverhalten ins positive ändert und T in negaiven ist, muss es davor negativ gewesen sein, also geht es davor runter bis T, weswegen es davor auch wieder die x-Achse geschnitten haben muss (Nullstelle 2).
-> Da sich bei H das Steigungsverhalten ins negative ändert und der Punkt in positven ist fällt der Funktion an einen Punkt auf y = 0 (Nullstelle 3).
