Mathematik: Folge konvergent, beschränkt, monoton?
Hallo, ich muss zeigen dass die folge gegen etwas konvergent ist, wie auf dem bild unten dargestellt.
Das mach ich ja indem ich lim n--> "unendlich" gehen lasse, aber wie mach ich das mit dem term (-1)^n ?
Weil ist n gerade ist es positiv, ist n ungerade ist es negativ.
Wie kann ich (-1)^n umformen sodass ich n--> "undendlich" einsetzen kann?
3 Antworten
Bei an ist der Grenzwert 1. einfach alles mit n^2 kürzen, vorher den Nenner ausmultiplizieren, dann hast du oben eine 1 und eine Nullfolge (-1)^n / n^2 , unten auch eine 1 und zwei Nullfolgen, Grenzwert ist also 1 /1 = 1. Bei b und c geht das ähnlich.
Grenzwert der ersten Folge an ist 2:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Limit+n+to+infinity+(2n%C2%B2%2B(-1)%5En)%2F(n%2B1)%C2%B2
Gar nicht denn für diese Folge existiert kein Grenzwert.
Der Grenzwert existiert nur für Folgen welche auf einen bestimmten Wert zugehen.
Folgen konvergieren immer gegen ihren Grenzwert, wenn also eine Folge nicht konvergiert (in dem Sinne ist das Streben gegen unendlich oder -unendlich auch die Konvergenz gegen unendlich oder -unendlich) hat sie auch keinen Grenzwert.
Kurz gesagt die Folge (-1)^n ist nicht konvergent, weil sie gegen keinen bestimmten Wert strebt, genau so wenig wie die Folge: (-n)^n oder ähnliches.
Wichtig ist in diesem Falle noch das Leibnitzkriterium welches besagt, dass jede monotone Nullfolge mit Alternierenden Vorzeichen konvergent ist, (-1/n)^n ist also konvergent.
Okay ich hab mich vertan, ich dacht du meinst generell die Reihe (-1)^n.
Für die Reihen in deiner Angabe kannst du das Leibnitzkriterium aber doch bemühen, du ziehst die (-1)^n vor den Bruch und schaust ob der Bruch an sich monoton gegen Null konvergiert, wenn er das Tut ist die Komplette Reihe nach Leibnitz konvergent.
Den Grenzwert kannst du allerdings so nicht bestimmen, du kannst in aber mit dem Majorantenkriterium mehr oder weniger abschätzen, oder du wendest einen Trick an um die Reihe auf eine Reihe mit bekanntem Grenzwert zu überführen.
Ich lass einfach ^^
Ich war jetzt wieder mal bei den Reihen, du hast Folgen.
http://massmatics.de/merkzettel/#!163:Alternierende_Folgen
hier hast du die Anleitung wie es funktioniert.
Hier hast du es mit einer alternierenden Reihe zu tun. Du kannst das Leibnitzkriterium verwenden, das besagt, dass wenn der Faktor nach (-1)^n eine Nullfolge ist, die Reihe konvergiert.
Nein das geht nicht weil es keine Nullfolge ist, das Leibnitzkriterium gilt nur für alternierende monotone Nullfolgen.
Okay, ein Blick auf das Angabenblatt hätte nicht geschadet.. ^^
Ja das gilt aber auch für mich, ich dachte er meinte die Reihe (-1)^n ^^
Was aber offensichtlich nicht so ist, ob die Reihen in der Angabe den Forderungen fürs Leibnitzkriterium genügen kann ich ad hoc nicht sagen.
Naja, aber wenn man das Glied (a_n) zerlegt, Lässt sich damit für (-1)^n/(n+1)^2 zeigen, dass es gegen Null geht. Damit nähert sich die Folge dem Wert 2.
Ja die Folge konvergiert.
Aber heute ist nicht mein Tag^^
Das Leibnitzkriterium gilt bei Reihen nicht bei Folgen, in dem Fall ist sogar jede Nullfolge konvergent.
(a_n)=(2n^2+(-1)^n)/(n+1)^2=(2n^2)/(n+1)^2+(-1)^n/(n+1)^2
Ja so passts, mir hat bei dem Vorherigen der erste Term (2n^2)/(n+1)^2 gefehlt.
Im Endeffekt ist hier aber wichtig, dass sowohl der Grenzwert (-1)^n/(n+1)² existiert als auch 2n²/(n+1)², ansonsten gibts eben keinen.
Also zB 2n²/(n+1)² + (-1)^n*2n²/(n+1)² hätte keinen Grenzwert.
Ah, okay!
Auch gut, dass du angesprochen hast, dass es sich um eine Folge handelt, ich bin total durcheinander gekommen :D
ja, hab oben übersehen, dass dort 2 • n^2 steht, also 2/1 = 2. Erklärung stimmt aber.