Konvergent einer rekursiv definierten Folge?
Hallo Leute,
heute beschäftige ich mich mit der rekursiv definierten Folge: a0 = 1; an+1 = 1/(1+an). Ich untersuche die Konvergenz dieser Folge und wollte dies mittels Beweis der Beschränktheit und Monotonie machen. Mir ist bereits aufgefallen, dass diese Folge sich in zwei Teilfolgen aufgliedert, eine für gerade und eine für ungerade Folgeglieder. Ich habe auch bereits herausgefunden, dass die Teilfolge für gerade Folgeglieder monoton fallend und die für ungerade monoton wachsend sein müsste, versuche ich jedoch dies zu beweisen, komme ich auf das genaue Gegenteil, sprich, dass gerade monoton wachsen und ungerade monoton fallend sein müsste, was aber defintiv nicht der Fall ist, da ich mir die Folge bereits angesehen habe. Den Beweis der Beschränkheit habe ich übrigens schon hinbekommen, mir geht es nur um die Monotonie.
Danke und frohe Weihnachten allen. :)
3 Antworten
Wenn man deine Idee verfolgt ...
Ich habe im angehängten Bild vorgerrechnet, wie man nachweisen kann, dass die Teilfolge der geraden Folgenglieder monoton fallend und nach unten beschränkt ist. Analog kann man auch zeigen, dass die Teilfolge der ungeraden Folgenglieder monoton wachsend und nach oben beschränkt ist.
Anschließend kann man den Grenzwert der beiden Teilfolgen ausrechnen, um zu zeigen, dass die beiden Teilfolgen den gleichen Grenzwert haben, so dass dann ingesamt die Folge gegen diesen Grenzwert konvergiert.
Wenn's interessiert, hier noch ein anderer Blick auf das Problem:
Mit f(x) = 1 / ( 1+x ) suchen wir einen Fixpunkt von f durch Iteration
a_{n+1} = f(a_n)
Der Fixpunkt kann aus dieser Gleichung berechnet werden:
x = 1 / ( 1+x )
(wurde vom Kollegen schon gemacht)
Die Existenz des Fixpunkts und die Konvergenz der Folge kommt daher, dass für x>0 |f'(x)| = |1/(1+x)|² < 1
Es handelt sich um eine Kontraktion, d.h. die Bildpunkte liegen näher zusammen als die Urbilder. Man kann mit jedem a0 > 0 starten.
Inwiefern ist des denn für gerade und ungerade Folgeglieder relevant? Die ganze Folge ist doch monoton fallend und nach unten durch 0 beschränkt und nach oben durch 1?
Verstehe ehrlich gesagt nicht wie du die Aufgliederung in 2 folgen meinst
Also ich würde sagen:
an muss laut Definition kleiner als 1 sein und größer als 0
Darauf folgt direkt dass an+1 auch im Intervall 0 und 1 ist
Jetzt zeigt man nurnoch dass an+1 kleiner als an ist und des würde ich mit indutkion machen