Ist unendlich ein Häufungspunkt der Folge?
Hallo ich habe für folgende Folge folgende Häufungspunkte bestimmt bzw. Grenzwerte der teilfolgen.
a_n=n / (n*((-1)^(n*(n+1)/2)+(-1)^n)+2^64)
Dadurch das jetzt unendlich rauskommt, bin ich etwas irretiert:
4 Grenzwerte der Teilfolgen:
lim a_4k+1 -> -1/2
lim a_4k+2 -> unendlich
lim a_4k+3 -> unendlich
lim a_4k+4 -> 1/2
Die Folge sollte einmal in einer Klausur Mathe erstes Semester mit Beweis auf Ihre Häufungspunte bestimmt werden.
Für mich wären das jetzt 2 Häufungspunkte. -1/2 und unendlich.
Was mich daran jetzt stört ist das es doch jetzt eine divergente Folge ist, oder nicht? Unendlich kann doch kein Häufungspunkt sein.
PS: ich habe leider die Lösung nicht für die Aufgabe. im Programm Maxima (ähnlich Maple) kommt auch eine divergente Folge heraus.
2 Antworten
Das hängt von der Definition von Häufungspunkt ab! Man kann auch Unendlich und minus Unendlich als Häufungspunkte zulassen!
Ich mag das jezt nicht nachrechnen, aber wenn alles so stimmt, wie du es hingeschrieben hast, dann wären das doch zwei Häufungspunkte, 1/2 und -1/2. Wenn eine Folge mehr als einen Häufungspunkt hat, ist sie natürlich nicht konvergent.
Unendlich zählt gewöhnlich nicht als Häufungspunkt (außer, wenn man eine entsprechende Metrik bzw Topologie definiert hätte, aber das ist wohl nicht dein Thema). Allerdings, wenn eine Folge gegen unendlich geht, spricht man von bestimmter Divergenz und nennt unendlich (oder ggf -unendlich) einen uneigentlichen Grenzwert.