Häufungspunkte der Folge bestimmen Nächste »?
Aufgabe:
Häufungspunkte suchen der folgenden Folge:
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz wäre, dass man zuerst schaut, wie sich die einzelnen "Komponenten" verhalten.
Beispielsweise ist der erste Ausdruck konvergent und wenn man den Grenzwert bildet, immer 1/3.
Der Ausdruck (-1)n kann je nach geradem oder ungeradem n ja nur -1 oder 1 sein.
Und der Ausdruck mit der Wurzel: dort ist der Limes immer 5, egal welche n man dafür einsetzt
Der COS wird 1, wenn man 6n einsetzt. Deswegen würde ich dann die Häufungspunkte suchen indem ich zuerst 6n und dann 6n+1, dann 6n+2,... etc untersuche.
Stimmt meine Vorgehensweise so oder nicht?
Am Ende dann limes von allem bilden. Wenn ich dann als erstes x6n einsetze würde ich 16/3 erhalten. Erscheint mir jedoch ziemlich falsch. Wenn ich x6n+1 einsetze, würde ich dann -14/3 erhalten. Bitte um Hilfe
1 Antwort
Die Folge x_6n zu betrachten ist schon richtig, denn dann deckst du alle vielfachen der sechs ab und der Kosinus macht keine Probleme.
Betrachten wir nun den Grenzwert dieser Teilfolge.
x_6n = (6n)^2/(2+3*(6n)^2) * cos(pi/3 * 6n) + (-1)^6n * (5^(6n) + 2^(6n))^(1/n)
= 36n^2/(2 + 108*n^2) * cos(2pi*n) + 1 * (5^6n+2^6n)^(1/n)
= n^2*36/(n^2(108+2/n^2)) * 1 + 1 * 5*(1+(2^6)/(5^6)^n)^(1/n))
= 36/(2/n^2+108) + 5 * (1+(2^6)/(5^6))^n)^(1/n)
lim x_6n = 1/3 + 5 = 16/3
n -> inf
Das ist der erste Häufungspunkt und ja deine Rechnung ist korrekt.
Nun hast du die Indizes (6,12,18,24,…) also unendlich viele durch diese Teilfolge abgedeckt, aber du musst alle natürlichen Zahlen abdecken. Deswegen musst du alle Teilfolgen n = 6k , n = 6k + 1 , …… , n = 6k-1 untersuchen.