Konvergenz von Folgen(betrag)?

Hallo, wenn der Betrag einer Folge konvergent ist, ist dann auch die Folge konvergent, und umgekehrt, wenn eine Folge konvergent ist, ist der Betrag der Folge dann auch konvergent?

Answer 1

[mihisu]

wenn der Betrag einer Folge konvergent ist, ist dann auch die Folge konvergent

Nein. Gegenbeispiel: Die durch aₙ = (-1)ⁿ gegebene Folge divergiert, obwohl der Betrag der Folge gegen den Grenzwert 1 konvergiert.

wenn eine Folge konvergent ist, ist der Betrag der Folge dann auch konvergent?

Ja, das stimmt.

Answer 2

[Quotenbanane]

Genau umgekehrt. Wenn der Betrag der Folge konvergent ist, heißt das nicht, dass es auch die Folge selbst ist.

Triviales Gegenbeispiel: a_n = (-1)^n.

Der andere Teil gilt natürlich, was man eigentlich leicht mit dem Cauchy-Kriterium zeigen kann.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Answer 3

[Jangler13]

Wenn der Betrag konvergiert, muß nicht unbedingt die Folge Konvergieren.

Z.b: (-1)^n

Die andere Richtung stimmt jedoch, denn

||a|-|a_n||<=|a-a_n|, Wenn also a_n gegen a geht, so geht auch erst Recht der Betrag von a_n gegen den Betrag von a

Answer 4

[Realansgar]

Nur die eine Richtung funktioniert, die andere nicht:

$a_{n\ }=\left(-1\right)^n\ divergiert;\ \lim\left|\left(-1\ \right)^n\right|\ =\ -1\ konvergiert$