Mathematik – Wurzel ziehen?
Was ist jetzt die Wurzel von 9? 3 oder 3 und -3?
3 Antworten
Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl y ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl y ist.
Die Quadratische Gleichung x² = y hat zwei Lösungen, nämlich
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung
Und ein bisschen Wikipedia. 😉
(Zumindest die Formulierung.)
Das ist falsch. Die Lösung der quadratischen Gleichung x²=9 ist ±3, die Wurzel aus 9 ist aber ausschließlich 3.
Wenn Du auf beiden Seiten die Wurzel ziehst, steht links x und auf der rechten Seite ±Wurzel (9); eben weil als Wurzel nur die 3 gilt, gehört auch das Minuszeichen vor die Wurzel, um die Lösung -3 nicht zu schlabbern.
Stünde da nur x=Wurzel (9), würde die Lösung x=-3 unterschlagen.
Wenn man aber zusätzlich ein Minus vor die (positive) Wurzel aus 9 setzt, bleiben beide Lösungen erhalten.
Wenn die Wurzel aus 9 sowohl +3 als auch -3 wäre, könnte man sich das ± vor der Wurzel ja sparen.
Aber warum steht auf Wikipedia zuerst genau das, aber dann:
Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen (-3)(-3) = 9 auch die Zahl -3 ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus 9.
Ein möglicher Kandidat, natürlich. Aber laut Definition eben nicht die Wurzel.
Du mußt unterscheiden zwischen der Wurzel einer Zahl und der Lösung einer quadratischen Gleichung, die zu dieser Zahl führt.
Bei der Lösung ist auch eine negative Zahl erlaubt, als Wurzel aber nicht.
Deswegen setzt man - um auch die negative Lösung zu berücksichtigen - vor die Wurzel sowohl ein + als auch ein -.
Nur die drei ist richtig, obwohl beide Zahlen zum Quadrat 9 ergeben.
-3 ist keine Quadratwurzel von 9.
Die Quadratwurzel einer Zahl ist per Definition die nicht-negative Zahl, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, das Original ergibt.
Daher ist die Quadratwurzel von 9 ausschließlich 3.
Richtig ist aber: (−3)² = 9
Das bedeutet, dass −3 eine Lösung der Gleichung x²= 9 ist, aber nicht die Quadratwurzel von 9.
Und warum genau?
Mein Mathelehrer meint, dass es hier immer zwei Antworten gebe und beim Taschenrechner und in Büchern oft nur die positive steht, weil es schon klar sei, dass es zwei Antworten, einmal positiv und einmal negativ, gibt.
Der Taschenrechner berechnet die Wurzelfunktion. Eine Funktion ordnet jedem Funktionsargument (aus dem Definitionsbereich) genau einen Funktionswert zu.
Dein Mathelehrer weiß das bestimmt auch, vielleicht hast du ihn missverstanden. Wurzel ist immer positiv und eindeutig. Eine einfache quadratische Gleichung der Form x² = y mit y > 0 hat zwei Lösungen, eine positive und eine negative.
So meinte es mein Mathelehrer wirklich. Trotzdem danke!
Das ist 3, weil 3 x 3 = 9 ergibt.
(-3)*(-3) ergibt aber ebenfalls 9.
Trotzdem gilt nur 3, nicht aber -3 als Wurzel von 9.
Das ist so definiert.
Also:
x² = y | Wurzel ziehen
x1 = Wurzel von y und x2 = - Wurzel von y?
Aber:
Wurzel von 9 = 3?
Mein Mathelehrer meint: Wurzel von 9 = Plus-Minus-Drei.