MATHE AUFGABE zu ZAHLENFOLGEN?
Die Aufgabe heißt: Die Längen der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mögen die ersten drei Glieder einer arithmetischen Zahlenfolge bilden. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 150 cm^2 . Welche Maße haben die drei Seiten und wie heißt das Bildungsgesetz der Zahlenfolge?
5 Antworten
Hallo,
für die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gilt der Satz des Pythagoras:
a²+b²=c², wobei a und b die Katheten, c die Hypotenuse ist.
Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produktes der Länge der beiden Katheten.
Es muß also gelten: a*b/2=150 bzw. a*b=300
Nimm an, die arithmetische Folge besteht aus natürlichen Zahlen, dann würden a, b und c ein pythagoreisches Tripel ergeben, also drei natürliche Zahlen, die den Satz des Pythagoras erfüllen.
Das kleinste pythagoreische Tripel ist 3, 4 und 5, denn 3²+4²=5².
Da 3*4 allerdings nur 12 und nicht 300 ergeben, paßt das nicht.
Die gesuchte Fläche ist 25 mal so groß.
Nun bilden 3, 4 und 5 tatsächlich eine arithmetische Folge mit a0=3 und d=1.
Wenn man 3²+4²=5² mal spaßeshalber mit 25 multiplizieren würde...?
Probier mal ein wenig herum.
Herzliche Grüße,
Willy
Die drei Folgenglieder heißen a-x, x und a+x. Es gilt nach oben also
(a-x) * a = 300 und nach Pythagoras
(a-x)^2 + a^2 = (a+x)^2 , was auf
a^2 - 2ax + x^2 + a^2 = a^2 + 2ax + x^2 führt. Wegstreichen und umsortieren bringt
a^2 = 4ax, also
a = 4x.
Dies setzt man in die erste Gleichung ein und erhält
(4x-x) * (4x) = 300, also
3x * 4x = 300
<=> 12 x^2 = 300
<=> x^2 = 25
<=> x = 5 oder halt x = -5
Damit ist a = 20 oder a = -20, wobei die zweite Lösung wegfällt, da es keine negativen Seitenlängen geben kann.
Die Seiten des Dreiecks sind dann
15, 20 und 25
Die drei Seitenlängen des Dreiecks bezeichne ich der Größe nach mit a[0], a[1], a[2].
Da dies die ersten drei Glieder einer arithmetischen Folge sein sollen, gibt es ein d mit:
a[1] = a[0] + d
a[2] = a[1] + d = a[0] + 2d
Das Dreieck soll rechtwinklig sein. Als Bedingung dafür erhält man:
a[0]² + a[1]² = a[2]²
a[0]² + (a[0] + d)² = (a[0] + 2d)²
Da der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks 150 cm² betragen soll, erhält man:
1/2 * a[0] * a[1] = 150 cm²
1/2 * a[0] * (a[0] + d) = 150 cm²
Die beiden so erhaltenen Gleichungen ...
a[0]² + (a[0] + d)² = (a[0] + 2d)²
1/2 * a[0] * (a[0] + d) = 150 cm²
... bilden ein Gleichungssystem, welches man lösen kann. Man erhält a[0] = 15 und d = 5.
Damit sind die Seitenlängen gegeben durch:
a[0] = 15
a[1] = 20
a[2] = 25
Für die Zahlenfolge erhält man ...
a[n+1] = a[n] + 5 mit a[0] = 15
... als ein implizites Bildungsgesetz bzw. ...
a[n] = 15 + n * 5
... als ein explizites Bildungsgesetz.
Nachtrag: Ich habe die Einheiten vergessen. Ich habe alles in Zentimetern (cm) gerechnet.
a² + b² = c² und a*b/2 = 150
mit etwas rumprobieren kommst Du auf: a=15, b=20, c=25
Die Bildungsregel ist: "immer 5 mehr"
ich denke "aritmethische" Zahlenfolge. Die ist eben Z (n+1) = Z(n) + 5
Wie lautet die "Formel" einer arithmetischen Zahlenfolge und dieses b must du für die 3 Seiten einsetzen! Denke nach oder schau besser nach!
Wobei man anmerken muss, dass ich am Anfang die Folgenglieder a[0], a[1], a[2] in aufsteigender Reihenfolge angegeben habe. Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, nämlich das a[0], a[1], a[2] die Folgenglieder in absteigender Reihenfolge sein sollen. Dann erhält man nach einer analogen Rechnung ...
a[0] = 25
a[1] = 20
a[2] = 15
a[n+1] = a[n] - 5 mit a[0] = 25
a[n] = 25 - n * 5
Es wäre also auch diese zweite Folge möglich, so dass die Aufgabe nicht eindeutig lösbar ist.