MATHE AUFGABE zu ZAHLENFOLGEN?
Die Aufgabe heißt: Die Längen der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mögen die ersten drei Glieder einer arithmetischen Zahlenfolge bilden. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 150 cm^2 . Welche Maße haben die drei Seiten und wie heißt das Bildungsgesetz der Zahlenfolge?
5 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Hallo,
für die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gilt der Satz des Pythagoras:
a²+b²=c², wobei a und b die Katheten, c die Hypotenuse ist.
Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produktes der Länge der beiden Katheten.
Es muß also gelten: a*b/2=150 bzw. a*b=300
Nimm an, die arithmetische Folge besteht aus natürlichen Zahlen, dann würden a, b und c ein pythagoreisches Tripel ergeben, also drei natürliche Zahlen, die den Satz des Pythagoras erfüllen.
Das kleinste pythagoreische Tripel ist 3, 4 und 5, denn 3²+4²=5².
Da 3*4 allerdings nur 12 und nicht 300 ergeben, paßt das nicht.
Die gesuchte Fläche ist 25 mal so groß.
Nun bilden 3, 4 und 5 tatsächlich eine arithmetische Folge mit a0=3 und d=1.
Wenn man 3²+4²=5² mal spaßeshalber mit 25 multiplizieren würde...?
Probier mal ein wenig herum.
Herzliche Grüße,
Willy
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Die drei Folgenglieder heißen a-x, x und a+x. Es gilt nach oben also
(a-x) * a = 300 und nach Pythagoras
(a-x)^2 + a^2 = (a+x)^2 , was auf
a^2 - 2ax + x^2 + a^2 = a^2 + 2ax + x^2 führt. Wegstreichen und umsortieren bringt
a^2 = 4ax, also
a = 4x.
Dies setzt man in die erste Gleichung ein und erhält
(4x-x) * (4x) = 300, also
3x * 4x = 300
<=> 12 x^2 = 300
<=> x^2 = 25
<=> x = 5 oder halt x = -5
Damit ist a = 20 oder a = -20, wobei die zweite Lösung wegfällt, da es keine negativen Seitenlängen geben kann.
Die Seiten des Dreiecks sind dann
15, 20 und 25
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Die drei Seitenlängen des Dreiecks bezeichne ich der Größe nach mit a[0], a[1], a[2].
Da dies die ersten drei Glieder einer arithmetischen Folge sein sollen, gibt es ein d mit:
a[1] = a[0] + d
a[2] = a[1] + d = a[0] + 2d
Das Dreieck soll rechtwinklig sein. Als Bedingung dafür erhält man:
a[0]² + a[1]² = a[2]²
a[0]² + (a[0] + d)² = (a[0] + 2d)²
Da der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks 150 cm² betragen soll, erhält man:
1/2 * a[0] * a[1] = 150 cm²
1/2 * a[0] * (a[0] + d) = 150 cm²
Die beiden so erhaltenen Gleichungen ...
a[0]² + (a[0] + d)² = (a[0] + 2d)²
1/2 * a[0] * (a[0] + d) = 150 cm²
... bilden ein Gleichungssystem, welches man lösen kann. Man erhält a[0] = 15 und d = 5.
Damit sind die Seitenlängen gegeben durch:
a[0] = 15
a[1] = 20
a[2] = 25
Für die Zahlenfolge erhält man ...
a[n+1] = a[n] + 5 mit a[0] = 15
... als ein implizites Bildungsgesetz bzw. ...
a[n] = 15 + n * 5
... als ein explizites Bildungsgesetz.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/einunddreiziger/1496331543933_nmmslarge__474_54_972_972_b7682108b31e84c1bec129eeeca5a060.jpg?v=1496331544000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Nachtrag: Ich habe die Einheiten vergessen. Ich habe alles in Zentimetern (cm) gerechnet.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Melli2000a/1536172112408_nmmslarge__1_1_372_372_d74d16f181530af5150d14714f9ec0c1.jpg?v=1536172114000)
a² + b² = c² und a*b/2 = 150
mit etwas rumprobieren kommst Du auf: a=15, b=20, c=25
Die Bildungsregel ist: "immer 5 mehr"
![](https://images.gutefrage.net/media/user/einunddreiziger/1496331543933_nmmslarge__474_54_972_972_b7682108b31e84c1bec129eeeca5a060.jpg?v=1496331544000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Melli2000a/1536172112408_nmmslarge__1_1_372_372_d74d16f181530af5150d14714f9ec0c1.jpg?v=1536172114000)
ich denke "aritmethische" Zahlenfolge. Die ist eben Z (n+1) = Z(n) + 5
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wie lautet die "Formel" einer arithmetischen Zahlenfolge und dieses b must du für die 3 Seiten einsetzen! Denke nach oder schau besser nach!
Wobei man anmerken muss, dass ich am Anfang die Folgenglieder a[0], a[1], a[2] in aufsteigender Reihenfolge angegeben habe. Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, nämlich das a[0], a[1], a[2] die Folgenglieder in absteigender Reihenfolge sein sollen. Dann erhält man nach einer analogen Rechnung ...
a[0] = 25
a[1] = 20
a[2] = 15
a[n+1] = a[n] - 5 mit a[0] = 25
a[n] = 25 - n * 5
Es wäre also auch diese zweite Folge möglich, so dass die Aufgabe nicht eindeutig lösbar ist.