Rechtwinkliges dreieck, nur hypotenuse gegeben, lösbar?
Hallo, ich habe folgende aufgabenstellung, und weiß nicht, was ich tun soll:
Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC (Gamma = 90 grad) ist die länge der Hypotenuse mit c = 10cm gegeben. Unter allen Dreiecken mit diesen Angaben gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Ermitteln Sie für dieses Dreieck die Länge der Katheten und den Flächeninhalt!
Mfg Benny
4 Antworten
Weil der Flächeninhalt maximal werden soll, muss es ein gleichschenkliges Dreieck sein.
Daher gilt a=b und c=10.
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, verwenden wir Pythagoras:
a²+b²=c²
a²+a²=10²
2*a²=100
a²=50
a=√(50)
c ist fest und gegenüberliegend 90° sind fest. also ist der Flächeninhalt nur von a und b abhängig. Wenn man a einsetzt, erhält man b und somit kann man das Volumen berechnen. Für rechtwinklige Dreiecke muss man nur a*b*½ rechnen für den Flächeninhalt. Setzten wir etwas für a ein, dann erhalten wir wegen a²+b²=c² umgestellt b²=c²-a² und b=√(c²-a²) und das setzen wir ein für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von a. --> F(a)=a*√(c²-a²)*½ und das können wir ableiten. und dann erhalten wir b und somit gilt a=b
Genau genommen müsstest du noch zeigen, dass der Flächeninhalt maximal wird, wenn es gleichschenklig ist.
wenn es gleichschenklig sein sollte, soll er/sie das sicher durch Rechnung zeigen und nicht voraussetzen.
Danke, jetzt hab ich es verstanden. Hat sich alles für mich geklärt.
Extremwertaufgabe
Nebenbedingung:
a²+b²=100 → a = wurzel(-b² + 100)
Hauptbed.
A(max) = 1/2 • a • b
einsetzen
A(max) = 1/2 • wurzel(-b²+100) • b
A ' mit Produkt- und Kettenregel
A ' = 0
usw
Es gibt zwei Lösungsansätze, denn wir haben bereits drei Größen des Dreiecks gegeben und können es deshalb auch bilden:
- Hypothenuse
- Gamma
- Höhe für den größten Flächeninhalt! Denn der Flächeninhalt berechnet sich mit c und …? – !
Na, dann finden wir 3. eben raus …
- Zeichnerisch, in dem wir alle Dreiecke mit Gamma = 90 Grad und c = 10 cm betrachten und jenes mit der größten Höhe wählen. Stichwort: Satz des Thales
- Rechnerisch, in dem wir die Formel für den Flächeninhalt als Funktion auffassen und das Maximum ermitteln. Stichwort: Ableitung
Tipp:
Pythagoras: a² + b² = c²
Wenn c² = 100, kannst du eine Seite aus der anderen herleiten.
Finde die Seitenkombination, bei der a mal b maximal wird.
Eine Seite ist etwas länger als 7,07 cm