Schwierige Geometrie bzw. Trigonometrie Aufgabe?

Moin Leude,

könnt ihr mir evt bei dieser Aufgabe helfen? Ich verzweifle etwas daran.

Ich hab schon mit dem Kreisbogen und dem Dreieck in diesem kreissektor die halbe Fläche von dem linken, rechtwinkligen Dreieck berechnet und mit Sinus Cosinus die Seiten und Höhen vom Rechten, rechtwinkligen Dreieck und die Höhe vom ganzen Dreieck berechnet.

AUFGABE:

MB = 6,5cm

ß = 35 Grad

Berechne den Flächeninhalt vom Neon-Blau und Neon-Grün markierten Bereich.

Vllt schafft ihr es ja diese Aufgabe zu lösen falls ja Respekt. Vg Fabio

Answer 1

[mihisu]

Hinweis: Berechne die weiße Fläche, welche du als Summe eines Kreissektors (begrenzt durch die Punkte C, S, M) und eines Dreiecks BMS sehen kannst. Die blaue Fläche erhältst du als Differenz der Dreiecksfläche ABC und der weißen Fläche. Die grüne Fläche erhältst du als Differenz einer Halbkreisfläche und der weißen Fläche.

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Das Dreieck BMS ist gleichschenklig, da die Strecken [MB] und [MS] gleich lang sind, da beide Streckenlängen dem Kreisradius entsprechen. Dementsprechend ist der Winkel ∡BSM genauso groß wie der Winkel ∡MBS = β = 35°. Aufgrund der Innenwinkelsumme in Dreiecken von 180° erhält man dann...

$\measuredangle SMB+\underbrace{\overbrace{\measuredangle BSM}^{=\beta}+\overbrace{\measuredangle MBS}^{=\beta}}_{=2\beta}=180\degree$

$\rightarrow\quad \measuredangle SMB= 180\degree - 2\cdot \beta=180\degree-2\cdot 35\degree = 110\degree$

Die Winkel ∡SMB und ∡CMS = φ sind Nebenwinkel, die sich zu 180° ergänzen. Daher erhält man...

$\varphi=180\degree - \measuredangle SMB=180\degree-110\degree=70\degree$

Für den Flächeninhalt des durch die Punkte M, C, S begrenzten Kreissektors erhält man... (Der Radius r ist gleich der Länge der Strecke [MB], weshalb also r = 6,5 cm ist.)

$A_{\text{Sektor}CMS}=\frac{\varphi}{360\degree}\cdot \pi\cdot r^2=\frac{70\degree}{360\degree}\cdot \pi\cdot \left(6\text{,}5\,\text{cm}\right)^2\approx 25\text{,}81\,\text{cm}^2$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks BMS erhält man...

$A_{\triangle BMS}=\frac{1}{2}\cdot \underbrace{\overline{MS}}_{=\overline{MB}}\cdot \overline{MB}\cdot \sin\left(\measuredangle SMB\right)$ $=\frac{1}{2}\cdot 6\text{,}5\,\text{cm}\cdot 6\text{,}5\,\text{cm}\cdot \sin\left(110\degree\right)\approx 19\text{,}85\,\text{cm}^2$

Für die durch die Punkte C, S, B begrenzte gesamte weiße Fläche erhält man...

$A_\text{weiß}=A_{\text{Sektor}CMS}+A_{\triangle BMS}\approx 45\text{,}66\,\text{cm}^2$

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Im rechtwinkligen Dreieck ABC erhält man...

[Formeln als Bild, da gutefrage.net sonst meint, meine Antwort würde zu viele Zeichen enthalten.]

Für die Halbkreisfläche vom Punkt C bis zum Punkt B mit Kreismittelpunkt M erhält man...

$A_\text{Halbkreis}=\frac{1}{2}\cdot \pi\cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot \left(6\text{,}5\,\text{cm}\right)^2\approx 66\text{,}37\,\text{cm}^2$

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Für die blaue Fläche erhält man nun:

$A_{\text{blau}}=A_{\triangle ABC}-A_\text{weiß}\approx 13\text{,}51\,\text{cm}^2$

Für die grüne Fläche erhält man:

$A_\text{grün}=A_{\text{Halbkreis}}-A_\text{weiß}\approx 20\text{,}71\,\text{cm}^2$

Comments

[Fabio675]

WOW. Erstmal vielen Dank das du dir so viel Zeit und Mühe geben hast mir das zu erklären. Dich bräuchte ich als Mathelehrer xD.

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

verbinde M mit dem Schnittpunkt S des Halbkreises und der Strecke AB. So bekommst Du Flächen, die Du berechnen kannst.

Die blaue Fläche ist dann beispielsweise die Fläche des Dreiecks ABC abzüglich des Kreissektors CMS und des gleichschenkligen Dreiecks SMB.

Winkel CMS hat dabei 70°, wie leicht nachzuweisen ist.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Fabio675]

Danke für deine Antwort. Meinst du damit ich müsste selber zeichnerisch lösen? Indem ich die Seiten abmesse?

[Willy1729]

@Fabio675

Nein, durch Berechnung der Einzelflächen.

Answer 3

[Wechselfreund]

Den grünen Teil kannst du als Kreisabschnitt berechnen (Formel müsstest du dir suchen, Rasdius ist ja bekannt, Länge der Sehne über den Winkel, links unten ist ja ein rechter Winkel)

Halbkreisfläche minus grüne entspricht dem weißen Teil im Dreieck.

Dreiecksfläche minus diese weiße Fläche ist dann die blaue.