Warum ist die Teilfolge des Limes inferiors monoton fallend?
Kannst du bitte mehr Kontext geben, vor allem woher hast du diese Aussage?
Aus dem Vorlesungsskript der Analysis 1
Kannst du ein Bild von dem Abschnitt hinzugefügen?
Wir definieren hieraus zwei neue Folgen (bn)n u durch bn := sup k≥n ak = sup{ak | k ≥ n}, warum ist bn fallend?
2 Antworten
Bei solchen Fragen ist es generell hilfreich, etwas mehr Infos zu bekommen. Der Limes Inferior ist ein Wert. Er kann daher keine Teilfolge besitzen. Was du wahrscheinlich meinst:
Sei a_n eine Folge mit mindestens einem Häufungspunkt. Dann ist der lim inf (a_n) = a der kleinste Häufungspunkt und es gibt eine Teilfolge a_n_k die gegen a konvergiert.
Bist du dir sicher, dass die Aussage, dass jetzt diese Teilfolge monoton fallend ist, richtig ist? Nehmen wir mal das Beispiel:
Offensichtlich hat diese Folge die Häufungspunkte -5 und 5. Der lim inf ist also -5. Jetzt nehmen wir die Teilfolge:
Das heißt, wir nehmen von der Folge einfach nur jedes zweite Element, sodass wir nur die Folgenglieder mit -5 haben. Dies ist jetzt eine Teilfolge von a_n, die gegen -5, dem lim inf konvergiert. Jedoch ist diese Folge monoton steigend, weil das 1/n immer mehr abnimmt, jedoch ein Minus davor ist.
Das heißt, dass nicht jede Teilfolge, die gegen den lim inf einer Folge konvergiert, automatisch monoton fallend ist.
LG
Der Limes inferior ist der Limes der Infima. Die Folge der Infima ist monoton steigend, weil das Infimum von immer weniger Elementen genommen wird. Kleinere Elemente können so nicht dazu kommen.
Aber was soll eine Teilfolge eines Limes sein? Meinst du Limes einer Teilfolge? Aber auch so macht es keinen Sinn, weil man kann leicht eine monoton steigende Folge finden, die konvergiert. Dann steigt auch jede Teilfolge monoton und der Limes ist gleich dem Limes inferior.
Wenn du was anderes meinst, könntest du deine Frage bitte präzisieren?
bedeutet, dass man das Infimum ab einem bestimmten Folgenglied n bestimmt. Dieses n lässt man gegen unendlich gehen. Der gesamte Ausdruck ist dann der Grenzwert der Folge von Infima.
Beispiel:
1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, -1/6, ...
Das Infum der Folge ist -1/2.
Wenn ich erst ab dem zweiten Folgenglied starte, dann habe ich die Teilfolge
-1/2, 1/3, -1/4, 1/5, -1/6, ...
und das Infimum ist auch -1/2.
Wenn ich aber erst ab dem dritten Glied starte, habe ich die Teilfolge
1/3, -1/4, 1/5, -1/6, ...
und das Infimum ist jetzt -1/4.
Auf diese Weise erhält man eine Folge von Infima
-1/2, -1/2, -1/4, -1/4, -1/6, -1/6
Der Limes inferior ist der Grenzwert dieser Folge.
Dadurch, dass man ab immer späteren Folgengliedern startet, werden immer mehr Glieder nicht beachtet, die möglicherweise kleiner als die weiteren Glieder sind. Die Folge der Infima steigt also monoton und deshalb ist der limes inferior auch das Supremum der Folge der Infima.
Warum wird das Infimum von immer weniger Elemente angenommen?