Eine rekursive Folge auf Konvergenz untersuchen und den Grenzwert rechnen?
geg.:
Wie sieht der Lösungansatz aus? Kann ich die gegebene Folge auch in Summenschreibweise umformen und damit die Monotonie und die Beschränkheit finden ?
3 Antworten
Eine Rekursion ist das nicht; x_n kann man ja berechnen, ohne x_(n-1) zu kennen.
Du kannst x_n umschreiben zu
Die Monotonie ist offensichtlich, denn jeder Summand ist positiv und x_(n+1) damit echt größer als x_n.
Ich hab das ganze mal mit sehr großen n durchgerechnet.
Das läuft also gegen irgendwas im Bereich von 0.69314 usw.
Sieht mir nach ln(2) aus.
Ein geschlossener Ausdruck ist
x_n=digamma(2n+1) - digamma(n), was dann für n gegen unendlich den Wert ln(2) liefert. Das wirst du wohl aber auch nicht zeigen müssen.
_____
Ich bin mir aber gerade selber nicht sicher, ob es sich hier nicht eher um eine Reihe handelt - da bringt dir dann das Kriterium mit "beschränkt und monoton" nichts.
Die Monotonie ist nicht offensichtlich. Die Summen von x_n und x_n+1 enthalten unterschiedliche Mengen an Gliedern und vor allem wird das Startglied immer kleiner. Siehe die Ausführung von @mihisu (und von mir im Thread vir zwei Tagen).
Der letzte Summand ist doch in meiner Summenschreibweise auch 1/2n; denn für k=n ist 1/(n+k)=1/(n+n)=1/(2n).
Wie oben gesagt, ganz sicher, ob es überhaupt eine Folge und nicht eher eine Reihe ist, bin ich mir nicht. Meine Analysiskenntnisse sind nur noch rudimentär vorhanden, ich bin eher in der Algebra anzufinden. Im Zweifel würde ich an deiner Stelle die Frage nochmal pushen, wenn sich sonst niemand mehr meldet.
Wenn es eine Folge ist, ist es ausreichend, die Beschränktheit und Monotonie zu zeigen.
Siehe dazu auch meine Antwort zur folgenden Frage:
https://www.gutefrage.net/frage/folge-umschreiben-auf-formel
============
Man kann zeigen, dass die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt ist, was die Konvergenz der Folge zeigt.
Hinweis zur Monotonie: Zeige zunächst...
Hinweis zur Beschränktheit:
------------
Hier habe ich einen kompletten Lösungsvorschlag aufgeschrieben:
https://www.dropbox.com/s/ou5p993k3lxo46j/xnln2.pdf?dl=0
Im zweiten Teil habe ich die Konvergenz auch nochmal anders gezeigt, indem ich gezeigt habe, dass die Folge gegen ln(2) konvergiert.
In der letzten Zeile des Dokuments...
https://www.dropbox.com/s/ou5p993k3lxo46j/xnln2.pdf?dl=0
... sollte eigentlich...
lim_{n→∞}x_n = ln(2)
... statt...
lim_{n→∞}x_n = 2
... stehen. Da hatte ich am Ende wohl nicht mehr richtig beim Aufschreiben aufgepasst.
Ist zwar kein Beweis, aber auch Wolfram sieht den gleichen Grenzwert wie Mihisu und Meroxas:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+n+towards+infinity+sum+1%2F%28n%2Bk%29+for+k+from+1+to+n
ja du hast recht habe die angabe falsch gelesen ist keine rekursion. Meine frage ist jetzt: Wie beweise ich, dass diese Folge konvergent ist?
Muss ich die Monotonie und Beschränkheit beweisen ?
+
sollte nicht am Ende der Summenschreibweise auch ein + 1/2n stehen ?