Wie berechne ich hier den Grenzwert/ Index? Bitte mit Erklärung wenn es geht?

Answer 1

[mihisu]

In Teilaufgabe a) solltest du ℓ = 13/7 als Grenzwert erhalten haben. Denn...

$\ell=\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{13 n^2+5}{7n^2+4}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\left(13+5\cdot \frac{1}{n^2}\right)\cdot n^2}{\left(7+4\cdot\frac{1}{n^2}\right)\cdot n^2}$

$=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{13+5\cdot \frac{1}{n^2}}{7+4\cdot\frac{1}{n^2}}=\frac{13+5\cdot 0}{7+4\cdot 0}=\frac{13}{7}$

============

Nun soll...

$\left\lvert a_n-\ell\right\rvert < {10}^{-5}$

... sein. Ich würde dementsprechend nun einfach diese Ungleichung bezüglich n lösen.

$\left\lvert a_n-\ell\right\rvert < {10}^{-5}$

$\Leftrightarrow\quad \left\lvert \frac{13 n^2+5}{7 n^2+4}-\frac{13}{7}\right\rvert < {10}^{-5}$

[Multiplikation mit 7n² + 4 und Multiplikation mit 7, um die Brüche wegzubekommen. Dabei sind 7n² + 4 und 7 jeweils positiv, sodass man sie multiplikativ in den Betrag hineinbekommt.]

$\Leftrightarrow\quad \left\lvert 7\cdot\left(13 n^2+5\right)-13\cdot\left(7 n^2+4\right)\right\rvert < {10}^{-5}\cdot 7\cdot \left(7 n^2 +4\right)$

$\Leftrightarrow\quad \left\lvert 91 n^2+35-91 n^2-52\right\rvert < {10}^{-5}\cdot 7\cdot \left(7 n^2 +4\right)$

$\Leftrightarrow\quad \left\lvert -17\right\rvert < {10}^{-5}\cdot 7\cdot \left(7 n^2 +4\right)$

$\Leftrightarrow\quad 17 < {10}^{-5}\cdot 7\cdot \left(7 n^2 +4\right)$

$\Leftrightarrow\quad \frac{17}{7}\cdot {10}^5 < 7 n^2 +4$

$\Leftrightarrow\quad \frac{17}{7}\cdot {10}^5 -4< 7 n^2$

$\Leftrightarrow\quad \frac{\frac{17}{7}\cdot {10}^5 -4}{7}< n^2$

$\Leftrightarrow\quad \underbrace{\sqrt{\frac{\frac{17}{7}\cdot {10}^5-4}{7}}}_{\approx 186\text{,}26}< n$

Dementsprechend ist die Bedingung genau dann erfüllt, wenn n größer als etwa 186,26 ist. Die kleinste natürliche Zahl N, sodass die Bedingung für alle n mit n ≥ N erfüllt ist, ist dann offensichtlich 187.

$N=187$

Comments

[Akademiker99]

Hallo,

Ich weiß es ist eine späte Rückmeldung, aber ich verstehe den ersten Schritt irgendwie nicht so ganz. Wie hast du den Bruch aufgelöst? Kannst du mir das vielleicht nochmal erklären

Danke :)