Folge mit einem Grenzwert aber nicht monoton?
Kann mir jemand eine folge angeben die nicht monoton ist aber einen grenzwert hat
2 Antworten
Die Folge ist nicht monoton. Die Folge konvergiert gegen 0 als Grenzwert.
Die Aussage ist eine Implikation...
„Wenn ... gilt, dann gilt ...“
Es handelt sich nicht um eine Äquivalenz. Bei eine Äquivalenz wäre es...
„Genau dann, wenn ... gilt, gilt ...“
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Dass es sich hier nicht um eine Äquivalenz handelt, sondern nur um eine Implikation, kann man eben daran erkennen, dass ich ein Gegenbeispiel für die Umkehrung gegeben habe.
„Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, konvergiert sie.“
... ist nun einmal eine andere Aussage als die (nicht richtige) umgekehrte Aussage...
„Wenn eine Folge konvergiert, ist sie monoton und beschränkt.“
Das sind zwei verschiedene Aussagen! Eine ist richtig, die andere ist im Allgemeinen falsch.
Mal ein anderes Beispiel... Betrachte die folgende Aussage:
Wenn eine ganze Zahl k eine Quadrat einer ganzen Zahl ist, so ist die Zahl k nicht-negativ.
Diese Aussage ist wahr.
Aber: Nicht jede nicht-negative ganze Zahl ist das Quadrat einer ganzen Zahl. Beispielsweise ist 6 keine Quadratzahl. Dennoch ist 6 nicht-negativ.
Dein Kommentar hört sich nun für mich analog so an: „Aber wie kann das sein, dass 6 keine Quadratzahl ist, wenn doch gilt, dass Quadratzahlen nicht-negativ sind und 6 ja auch nicht-negativ ist.“
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Oder anderes Beispiel...
Stelle dir einen (unüberdachte) Straße vor, die nass wird wenn es regnet.
„Wenn es regnet, wird die Straße nass.“
Nun spritzt ein Gärtner von einem anliegenden Grundstück aus mit einem Wasserschlauch Wasser auf die Straße.
Dein Kommentar: „Wie kann es sein, dass die Straße nass wird?! Es regnet doch gar nicht!“
Ja. Es ist ja eine Wenn...dann-Aussage und keine Genaudann...wenn-Aussage.
zum Beispiel 1/n mit 0 dazwischen, also 0, 1/1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, 1/4, ...
Das klappt im Prinzip mit jeder beliebigen Folge mit einem Grenzwert, wenn man den Grenzwert selbst alternierend dazwischen packt ...
Aber wie kann das sein wenn doch gilt:
Wenn eine Folge MONOTON und beschränkt ist, konvergiert sie.
Diese folge ist nicht monoton aber konvergiert trotzdem?