Kann jemand den Grenzwert hier bestimmen? Gerne erklären ich komme nicht weiter?
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Hallo,
der Grenzwert ist 1/e, also etwa 0,36788.
Schreibe um zu e^(ln((n+1)/(n+2))^n)=e^(n*ln((n+2)/(n+1)), zieh den Limes in den Exponenten, schreibe diesen wieder um zu ln ((n+2)/(n+1))/(1/n).
Da Zähler und Nenner gegen 0 gehen, kannst Du de l'Hospital anwenden, also Zähler und Nenner einzeln ableiten und dann n gegen unendlich gehen lassen.
Als Grenzwert für den Exponenten bekommst Du -1 heraus und e^(-1)=1/e.
Herzliche Grüße,
Willy
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
Man kann den Kehrwert betrachten,
1/an = ( 1 + 1/(n+1) )^n,
und diese Darstellung kennst du vielleicht, oder eher
( 1 + 1/(n+1) )^(n+1),
das geht gegen e. Das n+1 statt n im Exponenten macht keinen Unterschied.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RonaId/1611254037495_nmmslarge__0_0_500_500_77a0f43d5804c908f40c8a1b0c260400.jpg?v=1611254038000)
Man kann substituieren n=x-2 und erhält (x-1/x)^(x-2)
Das "-2" kannst Du bei sehr großen x weglassen (fast unendlich -2 ist fast unendlich) und erhältst (x-1/x)^x = 1/e
Das ist mathematisch sicher nicht ganz sauber formuliert, aber sollte so stimmen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Keine Ahnung, Grenzwerte waren irgendwie nie mein Thema, aber stumpfes Einsetzen sagt, dass es der Kehrwert der Eulerschen Zahl ist, vielleicht hilft das ja.