Kann es bei einer mathematischen Funktion als Extrema nur zwei Tiefpunkte geben?
Habe bei einer Aufgabe als Extrema zwei Tiefpunkte erhalten, ist das möglich ?
3 Antworten
Klar geht das - nichts ist unmöglich :-)
Ich habe mir mal eben ausgedacht: f(x) = x² + 1/x² = (x^4+1) / x²
Okay, es handelt sich um eine sog. gebrochen rationale Funktion (hattet Ihr die schon?).
Wenn Ihr bislang nur ganzrationale Funktionen hattet (ohne x im Nenner, sin, Wurzel...), dann müssen sich Hoch- und Tiefpunkte immer abwechseln.
Bei meiner Funktion ist das anders, weil diese bei x = 0 eine Definitionslücke hat. Das kann die gewohnten Eigenschaften ändern.
Nein, das kann, glaube ich, nicht sein.
Bei diffenrenzierbaren Funktionen sowieso nicht, aber selbst bei nicht differenzierbaren Funktionen scheint es mir, nach kurzer Überlegung, nicht möglich zu sein.
Aus KDWalthers Antwort folgend könnte man folgenden Satz (?) formulieren:
- Zwischen zwei Tiefpunkten liegt immer mindestens ein Hochpunkt oder eine Definitionslücke
- Zwischen zwei Hochpunkten liegt immer mindestens ein Tiefpunkt oder eine Definitionslücke
(Das Fragezeichen hinter "Satz", weil ich dafür jetzt keinen Beweis kenne, ich mir aber ziemlich sicher bin, dass das stimmt.)
Wir können's auch Lemma nennen, oder Walther'sche Vermutung ;-)
Ich gehe aber mal davon aus, dass das schon jemand weit vor uns formuliert hat :D
Jetzt steht eine meiner Antworten schon kurz davor, zu einem mathematischen Satz erklärt zu werden. Welche Ehre :-))