Liegt ein Wendepunkt immer genau in der Mitte von 2 Extrema?
Wenn ein Graph einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hat, liegt der Wendepunkt dann immer genau in der Mitte der zwei x-Werte? (Oder kann er auch verschoben sein?)
3 Antworten
Bei quadratischen Parabeln liegt der x-Wert des Scheitelpunkts immer in der Mitte zwischen zwei Nullstellen. Wenn es welche gibt.
Bei Funktionen 3.Grades liegt der Wendepunkt immer in der Mitte zwischen zwei Extrema (wenn es welche gibt)
Er kann auch verschoben sein. Beispiel: f(x)=x^4-x^2.
f'(x)=4x^3-2x
Also sind die Extrema bei x=0, x=1/2 und x=-1/2.
f''(x)=12x^2-2
Also sind die Wendepunkte bei x=1/6 und x=-1/6.
Für einen Wendepunkt sind Extrema nicht zwingend erforderlich. x³ hat keine Extrema, aber einen Wendepunkt.
(Aber du gehst davon aus, dass es HP und TP hat. Das kommt davon, wenn man nur die Überschrift liest. Ich muss mal überlegen...)
PhotonX hatte bereits ein Gegenbeispiel genannt, welches ich kommentierte. Ich gehe also davon aus, dass ich es eingesehen habe, dass der Wendepunkt nicht immer genau in der Mitte zwischen zwei Extrema liegt, wenn diese vorliegen.
Meine eigene Antwort noch weiter zu kommentieren, erschien mir wahrscheinlich überflüssig, da ich das Thema für abgeschlossen gehalten habe.
Bei 0 und +/- Wurzel(1/2)
Bei +/- Wurzel(1/6)
Aber du hast recht. Würden die Wendepunkte in der Mitte liegen, wären sie bei +/- Wurzel(1/2)/2 ungleich +/- Wurzel(1/6)