Es geht wohl darum zu erkennen, welches Vorzeichen das Produkt zweier Zahlen hat.

MERKE: Haben zwei Faktoren daselbe Vorzeichen, ist das Ergebnis positiv; haben zwei Faktoren unterschiedliche Vorzeichen, ist das Ergebnis negativ.

Beispiel: Aufgabe a)
Auf der linken Seite wird eine positive Zahl (+12) von (+8) subtrahiert; hier stehen zwei unterschiedliche Rechen-/Vorzeichen direkt hintereinander. Das Ergebnis von -(+12) ist also negativ; das Gesamtergebnis ist kleiner als (+8).
Auf der rechten Seite steht fast dasselbe, nur steht vor der zweiten Klammer nun ein "+". Da beide Seiten gleich sein sollen [in der Miitte steht ein Gleichheitszeichen], müssen auch hier zwei unterschiedliche Rechenzeichen/Vorzeichen hintereinander stehen. Also muss in der zweiten Klammer "-12" stehen.

Das war jetzt etwas rezeptartig erklärt, aber vielleicht hilft es ja erst mal weiter.

Bei a) angt einfaches Auszählen, da bei einem normalen Würfe jede Seite gleich wahrscheinlich ist: wie vile Seien gibt es - wie viele zeien "nicht Joker"?

Bei b) hilft evtl. folgende Überlegung: "genau einmal" heißt, dass Joker entweder beim ersten Ma ODER bem zweiten Mal fallen muss. Also gibt es die Möglichkeiten nicht Joker/Joker und Joker/nicht Joker. Hilft das weiter?

Ein Konfidenzintervall ist symmetrisch um den Erwartungswert µ:

[µ - z·σ; µ + z·σ] = [n·p - z·√(n·p·(1-p)); n·p + z·√(n·p·(1-p))]

(Ich setze mal eine Binomialverteilung voraus)

Du änderst/verkleinerst (nur) den Wert für n; dagegen bleiben p und z konstant.
Dann werden die Werte für σ automatisch kleiner. Somit verringert sich auch die Breite des Vertrauensintervalls.

Das kannst Du schnell und einfach überprüfen, indem Du Werte für p und z (z.B. 1,96) vorgibst und dann zwei unterschiedliche Werte für n einsetzt.

Ich versuche es mal einfach, aber hoffentlich mathematisch trotzdem korrekt:

"Obere Schranke" bedeutet: es gibt keinen größeren Wert. Und aus dem Intervall I=[3;5] ist kein Wert größer als 6. Demnach sind auch alle größeren Zahlen als 6 obere Schranke zu I.

"Supremum" ist die kleinste obere Schranke, also die Zahl, die "soeben noch" als obere Schranke in Frage kommt.

Wie ist in der Mathematik der Begriff "Drache" definiert"? Ein Drachenviereck ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale die andere Diagonale halbiert.

Also kann ein Drachen auch so aussehen (siehe unten):

Hier teilt AC die Digonale BD genau in der Mitte.

Schließen die Diagonalen einen rechten Winkel ein (so wie man sich einen Drachen vorstellt), erhält man einen symmetrischen Drachen.

Du brauchst den Sat

z des Pythagoras. Vielleicht hilft ja diese Skizze weiter...

Viel Erfolg!

Wenn drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen (da ist hier offensichtlich), lässt sich immer eine (quadratische) Parabel durch diese Punkte legen.

Insgesamt hast Du hier ja 4 Punkte gegeben: Der Bogen soll eine Höhe von 7 m haben. Der höchste Punkt liegt bei einer q.P. genau in Mitte zwischen den beiden Nullstellen, hier also bei x = 5,5.

Ich sehe also zwei unterschiedliche Vorgehensweisen:

A) Du arbeitest mit der Scheitelpunktform f(x) = a·(x - xs)² + ys.
xs und ys sind die Koordinaten des Scheitelpunktes, hier (5,5|7).
Nun setzt Du noch die Koordinaten von z.B. P ein und überprüft anschließend, ob auch Q auf dieser Parabel liegt.

Besser:

B) Die Punkte P, Q und R hat Sarah selbst gemessen; die sind also auf jeden Fall richtig. Daher arbeitest Du zunächst mit diesen drei Punkten. Da P und R auf der x-Achse liegen, arbeitest Du mit der faktorisierten Form f(x) = a·(x - x1)(x - x2). Dabei sind x1 und x2 die beiden Nullstellen, also 0 und 11. Nun berechnest Du mit Hilfe der Koordinaten von Q den Faktor a. Ich bekomme a = -0,22 heraus.
Anschließend überprüftst Du, ob die Parabel genau die Höhe 7 hat. Entweder formst Du in die Scheitelform um, oder Du überprüfst, ob S(5,5|7) auf der Parabel liegt. (Die Höhe der Parabel ist "nur" 6,655)

"vorab" wurde von Gewinn 50.000 ausgezahlt. Danach kamen die "6 % der Einlage". Macht zusammen 50.000 + 60.000 = 110.000.

Bleiben noch 470.000 - 110.000 = 360.000 zu verteilen

;-)

Mir ist noch nicht ganz klar, wo Dein Problem steckt.

Das Lösen der Ausgangsgleichung hast Du verstanden? (oberer Teil)

Dabei kommt heraus, dass nur x1 = 0 und x2 = 3 Lösungen sein können. Ob eine der beiden Zahlen tatsächlich Lösung der Ausgangsgleichung ist, kannst Du nur durch Einsetzen überprüfen. Dies wurde im zweiten Teil gemacht. Auf beiden Seiten der Gleichung wurde für x die Zahl 0 bzw. 3 eingesetzt.

Für x = 3 stimmt die Gleichung:
links: √(3+1) = √(4) = 2
rechts: 3 - 1 = 2

Für x = 1 stimmt sie nicht:
links: √(0+1) = √(1) = 1
rechts: 0 - 1 = -1

Beachte: √(...) ist immer eine positive Zahl.

Wie im Text steht, ist das "Quadrieren einer Gleichung keine Äquivalenzumformung". Das bedeutet, dass die Ausgangsgleichung und die quadrierte Gleichung unterschiedliche Lösungsmengen haben können.

Beispiel: Ich nehme die Gleichung -3 = 3. Die ist offensichtlich unwahr.
Quadriere ich sie, erhalte ich 9 = 9, eine wahre Aussage. Die beiden Gleichungen sind also nicht äquivalent.

Deshalb musstest Du für die beiden errechneten Werte überprüfen, ob sie tatsächlich Lösung sind.

Habe ich Dein Problem erfasst? Sonst frage nach.

Welche Klasse bist Du?

Hast Du z.B. auch Physik?

Es gibt etliche Fächer, in denen auch mathematische Kenntnisse (Umstellen von Formeln...) gefragt sind. Wenn es dort klappt, kann das (mathematische) Problem aus meiner Sicht nicht so schwierig sein.

Sich selber mathematische Sachverhalte beizubringen, ist bestimmt - auch mit Mathebüchern - nicht einfach. Und anscheinend langt der Matheunterricht mit Lehrer*in ja nicht aus, Deine Schwierigkeiten zu beheben.

Sprich doch vielleicht mal mit Deiner/m Mathelehrer/in darüber, wie Du das angehen sollst/kannst.

Ansonsten stimme ich Volens u.a. wegen Nachhilfe zu. Auch ich halte das Buch von Kusch für sehr geeignet.

"F~E" heißt : F ist ähnlich zu E. Welche Figur als Original angesehen wird, ist m.E. nicht unbedingt eindeutig.

Hier steht aber "F~E,K= 2/3". Da E kleiner ist als F, müsste F als das Original angesehen werden. Denn k gibt an, mit welchem Faktor ich jede Teilstrecke von F multipliziert werden muss, um auf die Längen der Bildfigur zu kommen. (Dazu misst Du entsprechende Längen aus und bildest dann den Quotienten.)

Umgekehrt dann "E~F, K= 3/4" Hier wird E als Original angesehen. Jedoch muss hier k = 3/2 sein, also genau der Kehrwert des anderen Streckfaktors. Offensichtlich liegt hier ein Tippfehler vor (Deiner oder einer im Buch)

Ist's nun klar?

cotangens ist die Umkehrfunktion zu tangens. Umkehrfunktionen werden in der Mathematik meist mit dem Exponenten -1 geschrieben. Mit einer Potenz (also hier: 1 / tangens) hat das nicht zu tun.

Da ist die Schreibweise selbst in der Mathematik mal nicht stringent. :-(

Mal im Buch/in der Formelsammlung unter Potenzgesetze nachschlagen ;-)

Da findest Du u.a., dass man Potenzen mit gleichen Exponenten multiplizieren kann, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

Dann kannst Du umformen:

x^(5/3) * (1/x)^(5/3) = (x * 1/x) ^(5/3) = ...

Bei der zweiten Aufgabe solltest Du die zweite Potenz mal mit der zweiten aus der ersten Aufgabe vergleichen...

Da hast Du Dir selber gezeigt, dass Deine Vermutung eben nicht richtig ist. Diese Formulierung höre ich häufig - was sie aber nicht richtig macht. ;-)

Die Eigenschaft der Asymptoten (so wie hier der Begriff Asymptote gebraucht wird), bezieht sich auf die Annäherung durch den Graphen der Funktion für (betrags)große x-Werte (also große positive bzw. negative Zahlen).

Aber selbst dann kann der Graph einer Funktion seine Asymptote unendlich oft schneiden. Lass Dir mal die Funktion g(x) = sin(x) / x zeichnen. Die hat unendlich viele Nullstellen und konvergiert gegen y = 0.

Erst mal: Dein Vorgehen ist völlig korrekt.

Als ersten Hinweis einen Tipp für Bruchterme (gebrochen rationale Funktionen):

Ist der Grad des Zählers (= der höchste Exponent der Variablen) gleich dem Grad des Nenners (wie in Deinem Beispiel), ist der Grenzwert eine Konstante (in Deinem Fall -1).

Ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, ist der Grenzwert 0 (also auch eine Konstante ;-) ).

Zählergrad > Nennergrad: Grenzwert ist + oder - unendlich.

zur Aufgabe: "ganzzahliges Vielfaches von 1/2" bedeutet: der Flächeninhalt muss sich darstellen lassen als k · 1/2, wobei k eine ganze Zahl ist.
(als Kommazahl: der Flächeninhalt mus auf ...,0 oder ...,5 enden)

zur Lösung:

erstes Bild: ein Eckpunkt des Dreiecks muss gleichzeitig ein Eckpunkt des Rechtecks sein. So lässt sich das Rechteck auf jeden Fall immer um das Dreieck legen.

zweites Bild: |DB| ist natürlich richtig!

Hilft das weiter/habe ich Deine Fragen richtig verstanden?

Ganz eindeutig (wie von Dir bemerkt): Die Funktion hat bei x = 1 eine Definitionslücke.
Kannst Du mit dem von Dir benutzten Programm einzelne Funktionswerte berechnen lassen? Dann versuche es doch mal mit f(1).

Das Problem, auf das Du gestoßen bist, kenne ich von vielen Zeichen-/Matheprogrammen.

Ich erkläre mir das folgendermaßen:

Für die Zeichnung ist ein bestimmtes Intervall definiert. Auf diesem Intervall werden natürlich nicht alle (unendlich vielen) Funktionswerte berechnet, sondern (ich denke mir jetzt mal eine Zahl aus) nur 583. Vom linkesten x-Wert aus werden die x-Werte also immer um 1/582 der gesamten Intervallbreite vergrößert. Insoern ist es großer Zufall, wenn x=1 auch mit in die Berechnung einbezogen wird. Manche Programme kennzeichnen die Stelle im Graphen dann mit einem kleinen Kreis oder einer Lücke(von einem Pixel).

Benachbarte Punkte des Graphen werden dann durch eine kleine Strecke miteinander verbunden, so dass das Ganze optisch wie eine schöne, glatte Kurve aussieht (in Wahrheit aber ein Streckenzug ist).

Evtl. "merkt" das Programm ja auch, dass da nur ein einzelner Punkt fehlt und verbindet dann die beiden Punkt links und rechts der Lücke; auch hier wirkt der Graph dann durchgezeichnet.
(Ein ähnliches Problem taucht für das Programm ja auch auf, wenn Punkte des Graphen unter oder oberhalb des dargestellten Intervalls der y-Werte liegen. Auch diese werden ignoriert.)

Wie gesagt: Das sind meine Vermutungen - die für mich aber plausibel klingen :-)

Mir ist nicht klar, woher Du die Wahrscheinlichkeiten bei den letzten Abzweigungen, also für G bzw. nicht-G, nimmst. Und warum die überall unterschiedlich sind.

Laut Aufgabe beträgt die Gewaltbereitschaft unter Alkohol 10 %. Also müsste m.E. bei den Abzweigen A - G jeweils 1/10 stehen und bei den Abzweigen nicht-A - G jeweils 1/50.

Du verbindest jeden Eckpunkt des Originalfisches mit dem Streckzentrum, misst die Länge dieser Strecke(n) und multiplizierst sie mit dem angegebenen Faktor.

Dann trägst Du die Längen der neuen Strecken auf derselben Verbindung ab, von Z aus in Richtung des alten Fisches (k > 0).

Die neuen Punkte verbinden, und schon müsstest Du einen größeren und einen kleineren Fisch herausbekommen.

Ich betrachte die Anteile, die die Maschinen in einer Stunde vom Gesamtauftrag schaffen.

erster Automat: 1/36
zweiter Automat: 1/27
beide zusammen: 1/x Dabei ist die Stundenzahl, die beide zusammen benötigen

Das ergibt die Gleichung 1/36 + 1/27 = 1/x

Nun noch nach x auflösen.

(x = 14,2...)