Funktion anhand Extrempunkten rekonstruieren?
Hallo Community, meine Frage ist, wie ich eine Funktion anhand der Extrema rekonstruieren kann ? Wenn die Extrema auf der x-Achse liegen, weiß ich schon, wie das geht. Aber wie mache ich das zum Beispiel, wenn bei x1(9|10) ein Hochpunkt sein muss, bei x2(12|6) ein Tiefpunkt, bei x3 (17|20) ein Hochpunkt und schließlich bei x4(30|-5) ein Tiefpunkt. Ich will nicht, dass mir das hier jemand komplett vorrechnet, sondern nur das Schema sagen, wie man da rangeht. Vielen Dank schonmal an die Mathe Cracks 😉...
5 Antworten
f(9) = 10
f(12) = 6
f(17) = 20
f(30) = -5
f´(9) = 0
f´(12) = 0
f´(17) = 0
f´(30) = 0
Ein Polynom 7-ten Grades wäre eine Funktion, die man da anpassen könnte.
Aber hast du schon mal ein Gleichungssystem mit 8 Unbekannten per Hand gelöst ?, da bist du nächstes Jahr Weihnachten noch nicht fertig, so aufwändig wäre das per Hand auszurechnen, weil man sich garantiert noch 1000 mal verrechnet.
Deshalb das Internet benutzen -->
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm
Ergebnis -->
f(x) = - ( 894471449413463 / 93272700156775060000) * x ^ 7 + (369716306022881 / 341408065450333700) * x ^ 6 - (6273207738491147 / 128028024543875140) * x ^ 5 + (6729854279179945 / 5906100853434496)* x ^ 4 - (1339897211008203 / 92282825834914) * x ^ 3 + (651067308114587400 / 6562334281593885) * x ^ 2 - (2807821198649079000 / 8749779042125179) * x + (3004747169424400400 / 8991817361654879)
Die meisten Programmiersprachen werden das allerdings völlig falsch ausrechnen, weil die meisten Programmiersprachen nur mit 16 signifikanten Stellen rechnen, und alle anderen Zahlen "verschlucken". Du müsstest also schon eine Programmiersprache haben, die mit sagen wir mal mindestens 32 signifikanten Stellen rechnen kann, also long double, oder wie auch immer das in der jeweiligen Programmiersprache genannt wird.
Aber hast du schon mal ein Gleichungssystem mit 8 Unbekannten per Hand gelöst ?, da bist du nächstes Jahr Weihnachten noch nicht fertig, so aufwändig wäre das per Hand auszurechnen, weil man sich garantiert noch 1000 mal verrechnet.
Lol....was glaubst du, was man zu meiner Anfangszeit noch alles mit Bleistift, Papier und Rechenschieber gerechnet hat. ;-)
Manchmal könnte man fast den Eindruck haben, in der Vor-PC-Zeit gabs noch keine Wissenschaft und Mathematik. ;-)
In der Oberstufe macht (fast) alles der Rechner, auch das Lösen von Gleichungssystemen. Bleistift und Papier werden genutzt. um Mandalas zu malen...
Dein Polynom 7. Grades besitzt 6 Extrempunkte. Die Aufgabe oben klingt schon eher so, als wären es nur diese 4. Ich habe das gleiche Online-Skript verwendet um ein Polynom 5. Grades zu fitten, das passt aber tatsächlich nicht. Hierfür sind die Angaben widersprüchlich. Ich vermute, die Aufgabe wurde nicht ganz richtig wiedergegeben.
Oder es gibt noch mehr Extremwertpunkte also nur die, die angegeben wurden.
Aber mit dem fitten ist schon eine gute Idee, es muss ja nicht zwangsläufig ein ganzrationales Polynom sein, es könnte sich ja auch um eine gebrochenrationale Funktion handeln, mit Polynom im Zähler und mit Polynom im Nenner.
Du hast vier Extrempunkte, also muss die Funktion mindestens 5. Grades sein. Dazu stellst Du die allgemeine Funktionsgleichung auf.
Extrempunkt bei x0 bedeutet, dass f'(x0)=0 sein muss. Zudem hast Du jeweils die Punkte gegeben, kannst also die entsprechenden Gleichungen zu f(x)=... aufstellen, d. h. z. B. zum Punkt x1: f(9)=10, usw.
Aus den acht Bedingungen suchst Du Dir sechs Bedingungen aus, es müssen nicht alle Vorgaben beachtet werden... Aufpassen muss man bei der Auswahl bei geraden/ungeraden Funktionen, dass man nicht "symmetrische Bedingungen" auswählt, die bringen nicht unbedingt weiter; das ist aber hier nicht der Fall.
Vorüberlegungen:
4 Extremstellen: mindestens 5. Grades
8 gegebene Werte (4 Punkte + 4 Extrema): 7. Grades, dann hat man 8 Unbekannte und kann lösen.
f(x) = a * x^7 + b*x^6 + c*x^5 + d*x^4 + e*x^3 + f*x^2 + g*x + h
f’(x) = 7a * x^6 + 6b * x^5 + 5c * x^4 + 4d * x^3 + 3e * x^2 + 2f * x + g
P1:
f(9) = 10
10 = 4782969a + 531441b + 59049c +……..+ 9g + h (1)
f’(9)= 0
0 = 3720087a + 354294b + 32805c +……..+ g (2)
P2:
f(12) = 6
6 = 35831808a + …….+ h (3)
f’(12) = 0
0 = 20901888a + …….. + g (4)
P3:
…. (5)
…. (6)
P4:
(7)
(8)
Lösen des Gleichungssystems:
aus (1) folgt:
a = …. (9)
(9) in (2):
b = ... (10)
(10) in (3):
c = ….. (11)
(11) in (4):
d =
……
g =
h =
Am Ende hat man h und setzt das jeweils in die vorhergehende Gleichung ein, um g, dann f usw. bis zurück zu a auszurechnen. Das setzt man dann in f(x) ein und hat die Funktion.
Puhh, vielen Dank. Da stecken doch dann aber schon so 2 Stunden Arbeit drin, oder ?
Kommt drauf an, wie schnell man ist. Könnte schon sein ohne Übung. Ich hätte das wohl in einer halben Stunde raus.
Wenn du 4 Extremstellen hast, brauchst du ein Polynom 5. Grades. Also:
f(x) = a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + d*x^2 + e*x + f
Du musst jetzt nur genügend Gleichungen aufstellen, dass du a-f lösen kannst. Du hast dafür mehr als genug Informationen. Für ein Extremum gilt, dass die erste Ableitung gleich Null sein muss. Das heißt für jeden dieser Punkte muss folgendes gelten, also z.B. für x1:
f'(9) = 0
Außerdem weißt du ja das f(9) = 10 ist. Für die anderen Punkte hast du diese Informationen ja auch. Alles ausschreiben und dann das Gleichungssystem lösen :)
f(9) = 10 und
f '(9) = 0
und genauso mit den anderen Punkten.
Vielen Dank !