Wie berechnet man mögliche Extrema ohne Ableitung?
Hey, ich würde gern wissen, wie man beispielsweise die Funktion (4x+2)*e^-1/2x auf mögliche Extrema untersuchen kann, ohne f´´(x) zu bilden. Ich meine, dass es da irgendwas mit nem Vorzeichenwechsel oder so gegeben hätte, bin mir aber auch nicht ganz sicher. Ich freu mich auf Antworten :D Mfg
*=mal ^=danach kommt exponent
2 Antworten
f ' auf Vorzeichenwechsel untersuchen.
Natürlich gibt es viele numerische Verfahren für die Ableitung und Maximum-Ermittlung
(Bisektion usw. siehe Iterationsrechner Beispiele 2, 25, 32 usw.)
ABER Achtung: bei 0 gibt es eine Polstelle - besser: Definitionslücke!
von - kommend ist lim (4x+2) * e^(-1/(2x)) ,x -> -0 =UNENDLICH
von + kommend ist lim (4x+2) * e^(-1/(2x)) ,x -> +0 =0
Die Funktion ist nur steigend!
Das ändert sich auch nicht nach der 1. Ableitung:
d/dx (4x+2) * e^(-1/(2x)) = (e^(-1/(2 x)) (1+2 x+4 x^2))/x^2
Bei x=0 gleiche Definitionslücke!
f '(x) wird nie negativ! -> es gibt kein Vorzeichenwechsel!
Sie wird nur 0, wenn man von + Richtung 0 kommt! (oder im komplexen Zahlenbereich)
lim f '(x) ,x -> +0 =0
Es gibt somit kein Extremum bei dieser ständig steigenden Funktion, sondern nur eine Definitionslücke.
In der Praxis kommt man jedoch meistens von +0 und wenn man ein praktischen Minimum-Wert haben möchte,
bekommt man ihn bei +0.
Hinweis: Mit f ''(x) = (e^(-1/(2 x)) (1-2 x))/(2 x^4) kommt man auch nicht weiter: Polstelle.
(also Beweis für nicht Differenzierbarkeit an der Stelle; man bestimmt nur "Krümmung" und auch diese ist bei 0 nicht definiert).
Zusatz zur Definition aus Wikipedia "Extremwert":
"Hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel bei x0, so liegt ein Extremum vor. Bei einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus handelt es sich um ein Maximum, bei einem Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus um ein Minimum."
kein Vorzeichenwechsel -> kein Extremum.
Also einfach einen Wert vor und einen Wert hinter der Extremstelle rauspicken und dann sehn, wie sich das Vorzeichen entwickelt oder?