Kubische Funktion Extrema?
Hallo,
können kubische Funktionen auch Extrema wie z.B. Hoch- oder Tiefpunkte besitzen, bzw. ist oder kann ein Sattelpunkt ein Extrempunkt sein?
3 Antworten
Naja...
können kubische Funktionen auch Extrema wie z.B. Hoch- oder Tiefpunkte besitzen?
Ja.
(schöne Merkhilfe:)
Für ganzrationale Polynomfunktionen mit den Grad n gilt:
- maximal n Nullpunkte
- maximal n - 1 Extrema
- maximal n - 2 Wendepunkte
(demnach gilt für kubbikische Funktionen:)
Für ganzrationale Polynomfunktionen mit den Grad 3 gilt:
- maximal 3 Nullpunkte
- maximal 3 - 1, also 2, Extrema
- maximal 3 - 2, also 1, Wendepunkt
PS
Extrema können sind immer Hoch- oder Tiefpunkte.
Hoch- oder Tiefpunkte können auch gleichzeitig andere Pukte sein.
Ganzrationale Funktionen haben immer maxmal mindestens einen Tiefpunkt/Hochpunkt weniger und maxmal maximal einen Tiefpunkt/Hochpunkt mehr als Hochpunkte/Tiefpunkte.
Beispiele:
3 Hochpunke -> mindestens 2 Tiefpunkte und maximal 4 Tiefpunkte
20 Tiefpunkte -> mindestens 19 Hochpunkte und maximal 21 Hochpunkte
ist oder kann ein Sattelpunkt ein Extrempunkt sein?
Nein.
Sattelpunkte und Extrema sind nicht das gleiche!
Auch wenn an beiden die Steigung 0 (erste Ableitung an den Punkt ist 0) haben,
so hat ein Sattelpunkt auch noch Änderungsrate von der Setigung 0 (zweite Ableitung an den Punkt ist 0), wohingegen bei Extrema diese Änderungsrate von der Setigung nicht ist.
(Bedingung hierfür ist, dass die erste Funktion auch nicht 0 ist.)
Ende
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. :3
Weil kubische Funktionen in einer Richtung nach -∞ und in der anderen Richtung nach +∞ gehen, gibt es keinen globalen Extrema. Es kann nur lokale Extrema geben. Die Ableitung ist eine quadratische Funktion. Wenn diese Funktion die x-Achse schneidet, gibt es an den zwei Schnittstellen je ein lokales Extremum. Wenn sie die x-Achse nur berührt, gibt es an der Berührstelle einen Sattelpunkt. Ein Sattelpunkt ist kein Extrempunkt.
Ja kubische Funktionen können Hoch- und Tiefpunkte besitzen. Auch bei Sattelpunkten ist die Ableitung = 0. Sie sind also auch Lösungen der Ableitung.