hey eine Mathe frage?
Brauche Hilfe bei Mathe da ich sehr schlecht bin .
hier sieht ihr ein Bild von den aufgaben: bitte den Lösungsweg + Erklärung
Übung 8 Ein Umweltproblem
Am Ufer eines Flusses wird eine giftige Lauge ausgelassen. Sie sickert mit abnehmender Geschwindigkeit über den Boden in den Fluss. Die Sickerrate wird beschrieben durch die Funktion s(t) = 3.e-0,5t (0<t< 12, t in Stunden, s in Gramm pro Stunde). a) Wie lautet die Funktion G(t), welche die Menge der Giftlauge in Gramm beschreibt, die zur Zeit t in den Fluss geflossen ist. b) Wie viel Gift fließt in der ersten Stunde in den Fluss? Wie viel Gift ist es in der zweiten Stunde. Wie groß ist die gesamte Giftmenge?
1 Antwort
a) Die Fläche unter s(t) gibt die Grammzahl an (y-Achse hat die Einheit g/h; x-Achse die Einheit h, ergibt für die Fläche y * x die gesuchte Einheit g). D. h. s(t) muss integriert werden. Das ist dann G(t), d. h. G(t) ist eine Stammfunktion von s(t).
b) in der ersten Stunde fließt G(1) in den Fluss; in der zweiten Stunde ist es dann G(2)-G(1). Die gesamte Giftmenge wäre dann G(12), wenn ich das richtig verstehe, dass nach 12 Stunden die gesamte Menge in den Fluß gesickert sein soll.
Wenn s(t)=3*e^(-0,5t) ist, dann ist deren Stammfunktion
G(t)=3 * e^(-0,5t)/(-0,5) [+C]= -6e^(-0,5t) [+C]
"Normalerweise" muss man das über die Substitution lösen: u=-0,5t => u'=du/dt=-0,5 <=> dt=du/(-0,5)
Wenn man jetzt den Exponenten und das dt ersetzt, kann man die e-Potenz leicht integrieren; danach noch re-substituieren.
Wenn man G(t) ohne Integrationskonstante C betrachtet, dann ja.
Aber bei a) soll ja die Funktion angegeben werden, die die Menge angibt, die nach t-Stunden in den Fluß geflossen ist. D. h. man muss das C noch so wählen, dass für t=0 logischerweise G(0)=0 rauskommt, also hier C=6. Jetzt ergibt das, was man für t einsetzt die Grammzahl, die eben nach dieser Zeit t von Beginn an in den Fluß geflossen ist.
Danke ^-^