Befindet sich bei einer Funktion 3. Grades immer der Wendepunkt zwischen zwei Extrempunkten?
Das ist eine Verständnisfrage und ich frage mich, ob, wenn ein Hochpunkt bei (0|y) (y ist egal) und ein Tiefpunkt bei z.B. (2|0) liegt, der Wendepunkt dann bei x=1 liegt?
5 Antworten
Hallo,
wie Volens bereits schrieb: Wenn es denn Extremstellen gibt.
Was aber für jede Funktion der Form f(x)=ax³+bx²+cx+d gilt, ist, daß sie immer symmetrisch zum Wendepunkt ist.
Aus diesem Grund muß der Wendepunkt dann auch immer zwischen Maximum und Minimum oder umgekehrt, falls vorhanden, liegen.
Du kannst ja mal versuchen, das zu beweisen.
Du mußt zeigen, daß für eine solche Funktion gilt:
f(-b/(3a)+x)=-f(-b/(3a)+x).
Bei x=-b/(3a) liegt immer der Wendepunkt.
Das gilt für den Fall, daß der Wendepunkt auf der x-Achse liegt.
Liegt er darüber oder darunter, wird's noch ein wenig kniffliger.
Herzliche Grüße,
Willy
Ist ein bißchen Rechnerei, funktioniert aber.
Hab's gerade ausprobiert.
Ganz am Schluß steht da
2*[2b³/(27a)-bc/(3a)+d]=2*[2b³/(27a)-bc/(3a)+d]
Danke sehr für deine Antwort: Aber ich hab ganz vergessen, bei meiner Frage hinzufügen, ob der Wendepunkt denn genau in der Mitte dazwischen liegt? Wäre nett, wenn du mir diese Frage auch beantworten könntest 😅
Natürlich genau in der Mitte. Der Wendepunkt ist das Symmetriezentrum.
Sagen wir: meistens.
Aber ax³ hat einen Wendepunkt und keine Extremwerte, analog die Verschiebungen.
Umgekehrt natürlich:
sind Extremwerte vorhanden, dann zwei,
und dazwischen liegt ein Wendepunkt.
Ja, er liegt in der Mitte bei x = -b/3a
wenn f(x) = ax³ + bx² +cx + d
Meinst du:
- ob er dazwischen liegt oder
- ob er genau in der Mitte zwischen den beiden liegt?
Ja , kannst ja mal versuchen es mathematisch zu beweisen ^^
Ist dann aber schon schwieriger
Kannst ja mal in diesem Forum vorbeischaun :
Ja. Guckst Du hier:
Allgemein:
f(-b/(3a)+x)+f(-b/(3a)-x)=2*f(-b/(3a))