Extremwertprobleme mathe?

3 Antworten

Oh verdammt, ich kann nicht lesen — der Container sollte halb so hoch wie breit sein, und nicht doppelt so hoch. Also muß ich ein paar Korrekturen an der Lösung vor­neh­men, porco dio.

Der Container soll ein vorgegebenes Volumen V₀=108 m³ haben und halb so hoch wie breit sein. Also hat er irgendeine Länge x, eine Breite b und eine Höhe h=½b, und sein Volumen ist x⋅b⋅½b=½xb²=V₀, also ist die Breite b=√(2V₀/x) und die Höhe h=½b=√(½V₀/x).

Damit wissen wir alles vom Quader in Abhängigkeit von einer Variablen x, nach der wir später differenzieren werden.

Außerdem soll der Materialverbrauch minimal sein, d.h. die Oberfläche möglichst klein (das Material ist ja Blech oder so etwas Ähnliches, aus dem der Quader geformt ist). Die Oberfläche eines Quaders besteht grundsätzlich aus sechs Rechtecken, aber in unserem Fall brauchen wir nur fünf: Oberfläche = Länge×Breite + 2⋅Länge×Höhe + 2⋅Breite×Höhe (das sech­ste Rechteck wäre der Deckel, aber der Container soll ja oben offen sein). Also schreiben wir die Oberfläche so an, daß nur x darin vorkommt:

Bild zum Beitrag

Dabei habe ich bei der Schreibweise darauf geachtet, daß wir den ganzen Schlunz in eine Form bekommen, die sich leicht differenzieren läßt, indem ich ausgenutzt habe, daß x/√x=√x, und das schreibe ich als gebrochene Potenz an, damit es sich leicht differenzieren läßt. Die einzige Ableitungsregel, die wir dann brauchen, ist nämlich (xᵃ)’=axᵃ¯¹. Alles außer x sind Konstanten, also geht das ganz einfach:

Bild zum Beitrag

und jetzt müssen wir das unglücklichen Ausdruck Null setzen und nach x auflösen. Dazu multiplizieren wir zuerst mit x² und formen dann so lange um, bis nur noch eine ±sympathische Kubikwurzel übrigbleibt:

Bild zum Beitrag

Und so kommt am Ende als Lösung heraus x=³√(2V₀)=6 m. Außerdem kriegen wir für die Breite b=√(2V₀/x)=6 m und die Höhe h=½b=3 m. Die Oberfläche als Funktion von x hat an der erwarteten Stelle wirklich ein Minimum, O=108 m².

Bild zum Beitrag

Und natürlich habe ich mich bei der Rechnung zuerst vernudelt, weil ich falsch ab­ge­schrieben hatte. Aber da ich jetzt auch dasselbe wie Halbrecht herausbekomme, bin ich mir sicher, daß es stimmt.

 - (rechnen, Funktion, Gleichungen)  - (rechnen, Funktion, Gleichungen)  - (rechnen, Funktion, Gleichungen)  - (rechnen, Funktion, Gleichungen)

Greta23412 
Beitragsersteller
 22.03.2025, 13:28

Aber wenn du die seiten 6=a und b=3 und c=6 hast dann kommt 144 raus nicht 108 , bei der Oberfläche

indiachinacook  22.03.2025, 13:41
@Greta23412

Die Oberfläche besteht ja nur aus fünf Rechtecken (weil die Kiste oben offen ist, also keinen Deckel hat): Die Grundfläche 6×6 und vier Seitenflächen 6×3, zusammen ergibt das 108 m².

Greta23412 
Beitragsersteller
 22.03.2025, 11:22

Danke, aber du hast glaube ich vertauscht das das volumen 108 ist und nicht die Oberfläche

indiachinacook  22.03.2025, 12:13
@Greta23412

Ja das Volumen ist V₀=108 m³ lt. Angabe, aber komischerweise kommt bei der Oberfläche O=6⋅6+4⋅3⋅6=108 m² heraus, das muß ein Zufall sein.

indiachinacook  22.03.2025, 17:04
@Halbrecht

Du schreibst doch selbst weiter unten:

bei mir ist a = 6 , b = 3 und c = 6 also ein Quader mit quadratischer Grundfläche

Und die Ober­fläche (oben offen) ist dann ac+2ab+2bc = 6⋅6 + 2⋅6⋅3 + 2⋅3⋅6 = 36+36+36 = 108

2(a/2 * 216/a²) =216/a

fällt mir zuerst auf

Von Experte indiachinacook bestätigt

Der Ansatz : super

Aber
zweite Zeile bei A muss lauten
A = a² + 216/a + 216/a

A = a² + 432/a 

.

Dann A'

A' = 2a - 432/a²

gleich 0 

mal a²

0 = 2a³ - 432

432/2 = a³

dritte Wurzel 

6 = a 


Greta23412 
Beitragsersteller
 21.03.2025, 22:57

Danke aber ich habe es nochmal gerechnet und a also die breite ist 5,45 ca. und c also die länge 7,27 ungefähr und höhe 2,73 :)) das ergibt dann zum Glück 108 m^3

Halbrecht  21.03.2025, 23:07
@Greta23412

Dann ist meine Rechnung also falsch ? aber wo ?

bei mir ist a = 6 , b = 3 und c = 6
also ein Quader mit quadratischer Grundfläche

Probier es selbst : Rechne A mit deinen Werten aus und dann mit meinen . Wenn du richtig liegst , ist dein A Wert kleiner

Halbrecht  21.03.2025, 23:15
@Greta23412

woher hast du dein a ?

.

a = 5.45

b = 7.27

c = 2.73

.

2*(5.45*7.27) + 2 * (7.27*2.73) + 5.45*2.73

= 133.82

.

a = 6

b = 6 

c = 3 

2*(6*6) + 2*(6*3) + 6*3 

= 126

Mein a = 6 hat gewonnen ! :))

Greta23412 
Beitragsersteller
 22.03.2025, 11:20
@Halbrecht

Ne, beim Volumen rechnet man nicht 2 mal sondern nur a •b•c und das sind bei mir perfekte 108

Halbrecht  22.03.2025, 16:53
@Greta23412

bei mir auch ! Aber es geht in der Aufgabe um die minimale Oberfläche = Materialverbrauch ! Und dafür sind deine Zahlen eben falsch

Du muss auf 108 kommen , weil du c z..B . aus a*b * c = 108 berechnest . Du bestimmst c so , dass es passt