Extremwertprobleme mathe?
Hi,
Ich verstehe leider die Aufgabe wieder nicht. kann mir jemand helfen bitte..chatgpt bringt einem bei solchen Aufgaben wirklich gar nicht weiter. Ich hab es eigentlich ja richtig angefangen zu lösen…..
danke im voraus 🙏
3 Antworten
Oh verdammt, ich kann nicht lesen — der Container sollte halb so hoch wie breit sein, und nicht doppelt so hoch. Also muß ich ein paar Korrekturen an der Lösung vornehmen, porco dio.
Der Container soll ein vorgegebenes Volumen V₀=108 m³ haben und halb so hoch wie breit sein. Also hat er irgendeine Länge x, eine Breite b und eine Höhe h=½b, und sein Volumen ist x⋅b⋅½b=½xb²=V₀, also ist die Breite b=√(2V₀/x) und die Höhe h=½b=√(½V₀/x).
Damit wissen wir alles vom Quader in Abhängigkeit von einer Variablen x, nach der wir später differenzieren werden.
Außerdem soll der Materialverbrauch minimal sein, d.h. die Oberfläche möglichst klein (das Material ist ja Blech oder so etwas Ähnliches, aus dem der Quader geformt ist). Die Oberfläche eines Quaders besteht grundsätzlich aus sechs Rechtecken, aber in unserem Fall brauchen wir nur fünf: Oberfläche = Länge×Breite + 2⋅Länge×Höhe + 2⋅Breite×Höhe (das sechste Rechteck wäre der Deckel, aber der Container soll ja oben offen sein). Also schreiben wir die Oberfläche so an, daß nur x darin vorkommt:
Dabei habe ich bei der Schreibweise darauf geachtet, daß wir den ganzen Schlunz in eine Form bekommen, die sich leicht differenzieren läßt, indem ich ausgenutzt habe, daß x/√x=√x, und das schreibe ich als gebrochene Potenz an, damit es sich leicht differenzieren läßt. Die einzige Ableitungsregel, die wir dann brauchen, ist nämlich (xᵃ)’=axᵃ¯¹. Alles außer x sind Konstanten, also geht das ganz einfach:
und jetzt müssen wir das unglücklichen Ausdruck Null setzen und nach x auflösen. Dazu multiplizieren wir zuerst mit x² und formen dann so lange um, bis nur noch eine ±sympathische Kubikwurzel übrigbleibt:
Und so kommt am Ende als Lösung heraus x=³√(2V₀)=6 m. Außerdem kriegen wir für die Breite b=√(2V₀/x)=6 m und die Höhe h=½b=3 m. Die Oberfläche als Funktion von x hat an der erwarteten Stelle wirklich ein Minimum, O=108 m².
Und natürlich habe ich mich bei der Rechnung zuerst vernudelt, weil ich falsch abgeschrieben hatte. Aber da ich jetzt auch dasselbe wie Halbrecht herausbekomme, bin ich mir sicher, daß es stimmt.
2(a/2 * 216/a²) =216/a
fällt mir zuerst auf
Der Ansatz : super
Aber
zweite Zeile bei A muss lauten
A = a² + 216/a + 216/a
A = a² + 432/a
.
Dann A'
A' = 2a - 432/a²
gleich 0
mal a²
0 = 2a³ - 432
432/2 = a³
dritte Wurzel
6 = a