Extremstellen falsch gerechnet notwendige und hinreichende Bedingung?
3 Antworten
Hallo,
notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei x0:
f'(x0)=0. Hinreichende Bedingung: f''(x0) ungleich Null.
Wenn f''(x0)<0, liegt ein Maximum vor, wenn f''(x)>0, liegt ein Minimum vor.
Wenn f'(x0)=0 und f''(0) auch gleich Null, dann kommt es darauf an, welchen Grad die erste Ableitung hat, die ungleich Null an der Stelle wird.
Ist er ungerade, Sattelpunkt, ist er gerade, Extremum.
Beispiel:
f(x)=x³.
f'(x)=3x². 3x²=0 für x=0.
f''(x)=6x. f''(x)=0
f'''(0)=6. Die erste von Null verschiedene Ableitung hat Grad 3, also ungerade.
Folglich gibt es hier einen Sattelpunkt:
f(x)=x^4, f(0)=0
f'(x)=4x^3 f'(0)=0
f''(x)=12x^2, f''(0)=0
f'''(x)=24x, f'''(0)=0
f''''(x)=24, f''''(0)=24.
Erste von Null verschiedene Ableitung bei x=0 ist gerade, also liegt ein Extremum vor. Da 24>0, ist es ein Minimum.
Herzliche Grüße,
Willy
Doch hat gepasst. e^0=1, größer als 0, also ist doch ein Tiefpunkt bei 0.
Klär mich auf, ist ne Weile her für mich. Erste Ableitung ist gleich 0, zweite an dieser Stelle ungleich 0. Graphik passt. Ich verstehe das Problem nicht.
Schau mal nach was notwendige und hinreichende Bedingungen bedeuten, wenn es um Extrema geht ;) Bin gerdae auf dem Sprung.
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle an x0 ist, dass die erste Ableitung an eben dieser Stelle gleich 0 ist. Das ist erfüllt für x0=0. Insofern handelt es sich bei x0=0 um eine kritische Stelle.
Um zu prüfen, ob es wirklich eine Extremstelle ist, setzt man x0 in die zweite Ableitung ein.
Hinreichende Bedingung ist hier, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Je nachdem ob größer oder kleiner, handelt es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Bei uns ist die zweite Ableitung an der Stelle x0=0 gleich 1, also ungleich 0. Somit ist die hinreichende Bedingung ebenfalls erfüllt. Da größer als null handelt es sich um einen Tiefpunkt.
Bitte kläre mich auf. Ich, als Mathematik-Student, bin hochgradig verwirrt.
Du sagtest doch, dass das eine Weile her sei. Aber du kannst doch in diesem Fall den Wert nicht prüfen. Was nun?
Ich bitte dich, mir zu sagen, wo das Problem ist. Ansonsten muss ich davon ausgehen, dass du dich geirrt hast und es nicht zugeben kannst.
Auf diesem Niveau sind wir noch nicht 🙂
Ist alles richtig. Allerdings gibt es Fälle, bei denen auch die zweite Ableitung gleich Null ist und trotzdem ein Extrempunkt vorhanden ist. Die hinreichende Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle ist, daß die zweite Ableitung an der Stelle ungleich Null ist. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, heißt das aber noch nicht, daß kein Extrempunkt vorliegt. Man muß in diesem Fall die folgenden Abletungen prüfen. Irgendwann kommt dann eine von Null verschiedene Ableitung. Ist dies die 4., 6., 8....2n., liegt ein Extrempunkt vor. Ist es die 3., 5., 7....(2n+1)., ist es ein Sattelpunkt. Es ist also besser, die hinreichende Bedingung für einen Extremwert so zu formulieren, daß die erste von Null verschiedene Ableitung an der fraglichen Stelle eine Ableitung gerader Ordnung ist.
Notwendige Bedingung bleibt aber, daß die erste Ableitung an der untersuchten Stelle gleich Null ist.
Kann diese Funktion überhaupt eine Wendestelle bzw ein Extrema haben? Überleg mal genau
Muss man als Biochemiker auch Mathematik können? Organische Chemie und Molekularbiologie sind doch so gut wie gar nicht mathelastig oder?
Weiß ich nicht sonst würde ich die Frage nicht stellen
Schau Dir mal den Graphen an. Findet irgendwo eine Änderung der Steigung vom positive ins negative oder umgekehrt statt?
Ja. Es handelt sich ja nicht um die normale Exponentialfunktion, sondern um die Funktion f(x)=e^x-x.
Nein...e^x wird stets größer als -x sein, daher wird der Wert (Steigung) niemals abnehmend sein, egal wie groß x auch immer sein mag
Die Steigung wird allerdings durch die erste Ableitung bestimmt.
Also durch f'(x)=e^x-1
Nochmal : hast du dir das mit den Bedingungen durchgelesen?
Ja. Stehen in den Kommentaren unter meiner Antwort.
Aber passt das mit Notwendig und Hinreichend? Darauf bist Du nicht eingegangen