Hinreichende Bedingung Sonderfall?
Hallo, habe eine Frage zur hinreichende Bedingung in Mathe. Erstmal wollte ich fragen ob mir einer vielleicht dieses Hinrechende Kriterim erklären kann:
Und dann hab ich noch eine Frage. Undzwar wenn man Extremstellen berechnet dann verwendet man ja die 1. Ableitung. Und dann zur hinreichenden Bedingung die 2. Ich habe jetzt den Fall, dass die 2. Ableitung = 0 ist. Das bedeutet doch eigentlich, dass es sich hierbei um einen Sattelpunkt handelt oder? Mein Lehrer meinte aber, dass da noch viel mehr möglich sei. Was kann man damit denn noch weiter berechnen?
danke schonmal im vorraus!
2 Antworten
Erste Frage:
Wenn die 1. Ableitung an der Stelle x gleich 0 ist, leitest du die Funktion so oft ab, bis die jeweilige Ableitung an der Stelle nicht mehr 0 ist.
Ist die Anzahl der Ableitungen die du bilden müsstest, gerade, dann ist dort ein Extrempunkt. Um zu entscheiden, welche Art von extrempunkt es ist, musst du nur schauen, ob die nicht 0 werdende Ableitung positiv oder negativ ist (wie es dort beschrieben ist)
Beispiel:
Betrachte f(x)=x^4
Die erste Ableitung ist 4x^3, die ist nur bei x=0 gleich 0.
Die zweite Ableitung ist 12x^2 (die ist dort auch 0)
Die dritte Ableitung ist 24x (auch 0)
Die 4. Ableitung ist 24, also ungleich 0.
Du musstest also 4 Mal ableiten, da 4 gerade ist, ist es somit eine Extremstelle. Da 24 positiv ist, hast du an der Stelle einen Tiefpunkt.
Und dann hab ich noch eine Frage. Undzwar wenn man Extremstellen berechnet dann verwendet man ja die 1. Ableitung. Und dann zur hinreichenden Bedingung die 2. Ich habe jetzt den Fall, dass die 2. Ableitung = 0 ist. Das bedeutet doch eigentlich, dass es sich hierbei um einen Sattelpunkt handelt oder?
Nein. Dass die 2. Ableitung ungleich 0 ist, ist nur HINREICHEND, nicht NOTWENDIG. Das bedeutet, dass die Informationen, dass die 2. Ableitung 0 ist, dir nicht ausreicht, um zu sagen, ob die Funktion da eine Extremstelle hat oder nicht. Siehe mein Beispiel zur ersten Frage.
Mein Lehrer meinte aber, dass da noch viel mehr möglich sei. Was kann man damit denn noch weiter berechnen?
Entweder schaust du per Hand, ob die erste Ableitung das Vorzeichen wechselt, oder du nutzt das Kriterium, das im oberen Bild steht.
Hallo, habe eine Frage zur hinreichende Bedingung in Mathe. Erstmal wollte ich fragen ob mir einer vielleicht dieses Hinrechende Kriterim erklären kann?
Eine hinreichende Bedingung ist eine Bedingung die wenn sie erfüllt ist auch gilt.
Ist sie nicht erfüllt muss sie nicht gelten.
Die Hinreichende Bedingung bei Extremstellen ist, dass wenn du einen Wert a gefunden hast an den die Steigung 0 ist (f'(a) = 0) und sie in die zweite Ableitung einsetzt und dann eine Zahl die nicht 0 ist rauskommt (f''(a) ≠ 0).
Noch einfacher ausgedrückt:
Hast du ein Wert gefunden dessen Steigung 0 ist und dessen Steigung der Steigung ungleich 0 ist, dann ist dieser Wert eine Extremstelle:
f(x) ist eine Funktion
f'(x) ist die Steigung/Ableitung der Funktion f(x)
a ist ein x-Wert an den die Steigung 0 ist
ist a in der zweiten Ableitung ungleich 0, dann ist a eine Extremstelle:
=> f'(a) = 0 und f'(a) ≠ 0 => a ist eine Extremstelle
Der Satz sagt nur, dass wenn ein Wert a in der zweiten Ableitung ungleich 0 ist, dann nicht unbedingt eine Extremstelle sein muss.
Darunter steht nur, dass wenn a in der zweiten Ableitung einen positiven Wert gibt, dass dann an a ein Tiefpunkt ist und dass wenn bei a ein negativer Wert rauskommt es ein Hochpunkt ist.
Merkhilfe "Stimmung einer Funktion":Ist das Ergebnis aus der zweiten Ableitung positiv, ähnelt die Kurve einem Smiley (der ja bekanntlich auch positiv ist): 😊 Der Mund ist geformt wie eine Kurve mit Tiefpunkt. (da der bogen des Mundes unten aka tief ist, wenn er positiv gestimmt ist)
Ist das Ergebnis aus der zweiten Ableitung negativ, sieht die Kurve aus wie ein (negativer) Frowney: ☹ Auch hier kannst du die Kurve mit Hochpunkt im Mund erkennen. (da der bogen des Mundes oben aka hoch ist, wenn er negativ gestimmt ist).
(Und die Erste Ableitung muss an der Stelle 0 sein!)
2Und dann hab ich noch eine Frage. Undzwar wenn man Extremstellen berechnet dann verwendet man ja die 1. Ableitung.
Meistens! Es geht auch anders, doch so macht man es häufig.
Und dann zur hinreichenden Bedingung die 2. Ich habe jetzt den Fall, dass die 2. Ableitung = 0 ist. Das bedeutet doch eigentlich, dass es sich hierbei um einen Sattelpunkt handelt oder?
Nein.
Das heißt, dass es keine Extremstelle sein muss.
Es kann eine Extremstelle sein, aber auch eine Sattelstelle oder auch nichts von beiden.
Z.B. ist die zweite Ableitung einer konstanten Funktion (z.B. f(x) = 0 => f'(x) = 0 => f''(x) = 0) immer 0, doch eine konstante Funktion hat weder Sattelpunkte noch Hochpunkte.
Z.B. ist die zweite Ableitung einer linearen Funktion (z.B. f(x) = ax + b => f'(x) = a => f''(x) = 0) immer 0, doch eine lineare Funktion hat weder Sattelpunkte noch Hochpunkte. Es ist einfach nur eine Gerade Bahn.
Mein Lehrer meinte aber, dass da noch viel mehr möglich sei. Was kann man damit denn noch weiter berechnen?
- Extrempunkte
- Sattelpunkte
- Wendepunkte
- Krümmungspunkte (Punkte an den sich das Vorzeichen der Krümmungsänderung ändert - ist aber fast nie relevant)
- ...
Danke das weiss ich schon, mir gings vielmehr darum, was mir das Bild sagen soll bzw wie ich es anwenden soll. Und wie ich weitermache nachdem f''(x)=0 war. Da weiss ich ja immernoch nicht, was es ist. Ob sattelpunkt oder extremstelle
(1) Methode
Dann kann man noch das Vorzeichenwechselkriterium (ein anderes hinreichendes Kriterium) benutzen:
Ist das Vorzeichen der Steigung direkt nach der Stelle anders als direkt vor der Stelle (an der die erste Ableitung = 0 ist), dann handelt es sich um ein Extrempunkte.
(2) Methode
Wir prüfen ob die Stelle eine andere Stelle als Extremstelle ist, wie ein Sattelpunkt oder eine Wendestelle.
Dafür leiten wir die Funktion drei bis viermal ab.
Z.B.
Ist die zweite Ableitung an der Stelle 0, dann kann es eine Wendestelle sein.
(2.1) Vorzeichenwechselkriterium: Wechselt sich in der zweiten Ableitung an der Stelle da Vorzeichen, so ist diese Stelle eine Wendestelle und somit kann es keine Extremstelle sein.
(dieses Kriterium reicht in der Schule eigentlich immer)
(2.2) Dritte Ableitung ungleich 0: Ist die Stelle in der dritten Ableitung ungleich 0 ist es eine Wendestelle und somit keine Extremstelle. Anders gesagt: ist es dort 0, dann ist es eine Extremstelle.
(dieses Kriterium reicht in der Schule eigentlich immer)
... (Es gibt noch mehr, aber das sind die beiden leichtesten und wichtigsten in der Schule.)
Vielen dank! Aber eine Wendestelle kann es in meinem Fall ja gar nich sein weil die erste Ableitung auch 0 ist.. also entweder Sattelpunkt oder Extremstelle. Also leite ich einfach weiter ab bis es ungleich 0 ist, und wenn es zb die 4. Ableitung ist, ist es eine Extremstelle und wenn es zb die 3. Ableitung ist ein Sattelpunkt??
Vielen dank!
Gerne!^^
Aber eine Wendestelle kann es in meinem Fall ja gar nich sein weil die erste Ableitung auch 0 ist.. also entweder Sattelpunkt oder Extremstelle.
Eine Satellstelle ist eine Wendestelle.
Sattelpunkte sind spezielle Wendestellen bei denen die Wendetangente waagerecht also paralel zu x-Achse verläuft.
Hat der Graph keine Wendepunkte, so hat er auch keine Sattelpunkte, also muss es ein Extrempunkt sein. ; )
Also leite ich einfach weiter ab bis es ungleich 0 ist, und wenn es zb die 4. Ableitung ist, ist es eine Extremstelle und wenn es zb die 3. Ableitung ist ein Sattelpunkt?
Jein.
Sie können tatsächlich vier mal ableiten zum Bestimmen, aber das beruht auf einen anderen hinreichenden Kriterium... und das lernt man in der Schule eigentlich nicht kennen.
Wenn es in der ersten und dritten Ableitung ungleich 0 ist, ist es eine Wendestelle bzw. hier sogar eine Sattelstelle.
Ist es in ersten und dritten Ableitung gleich 0, dann ist es eine Extremstelle.
Exztremstelle (das muss erfüllt sein):
- erste Ableitung = 0
- Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung
oder
- erste Ableitung = 0
- zweite Ableitung ≠ 0
oder
- erste Ableitung = 0
- zweite Ableitung = 0
- dritte Ableitung = 0
Sattelstelle (das muss erfüllt sein):
- erste Ableitung = 0
- zweite Ableitung = 0
- Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung
oder
- erste Ableitung = 0
- zweite Ableitung = 0
- dritte Ableitung ≠ 0
oder
- erste Ableitung = 0
- zweite Ableitung = 0
- dritte Ableitung = 0
- vierte Ableitung ≠ 0
Tut mir leid das hat mich jetzt verwirrt.. ich dachte wenn die vierte Ableitung ungleich 0 ist, ist es eine Extremstelle? Jetzt haben sie da geschrieben, dass es ein Sattelpunkt ist wenn die vierte Ableitung ungleich 0 ist. Das stimmt doch so nicht ganz?
und wenn zb die erste und dritte ableitung gleich 0 ist, und die nächste ableitung ungleich 0, dann muss es doch eine Extremstelle sein. Da 4 ja gerade ist.
Jetzt haben sie da geschrieben, dass es ein Sattelpunkt ist wenn die vierte Ableitung ungleich 0 ist.
Nein?
Das ist eine hinreichende Bedingung. Sie kann erfüllt sein.
Deswegen habe ich auch andere Varianten genannt.
ich dachte wenn die vierte Ableitung ungleich 0 ist, ist es eine Extremstelle?
Nein.
und wenn zb die erste und dritte ableitung gleich 0 ist, und die nächste ableitung ungleich 0, dann muss es doch eine Extremstelle sein. Da 4 ja gerade ist.
Nein.
4 ist gerade aber das hat nichts damit zu tun.
Es gibt auch ein anderes Kreterium, was sich auf den Grad der Funktion bezieht, doch auch da wäre das nicht so.
Wie gesagt gibt gilt auch für Sattelpunkte "erste Ableitung = 0, zweite Ableitung = 0, dritte Ableitung = 0 und vierte Ableitung ≠ 0", also könnte es auch ein Sattelpunkt sein.
doch eine konstante Funktion hat weder Sattelpunkte noch Hochpunkte.
Eine konstante Funktion hat an jeder Stelle einen Extrempunkt.
Das ist hier tatsächlich Definitionsabhängig.
Gäbe es ein Vorzeichenwechsel bei der Steigung, wäre es unmöglich eine konstante Funktion.
Doch gemäß der Definition des "schwachen Extrempunkte" stimmt das natürlich, doch das wird eigentlich nicht in der Schule behandelt...
Danke! Das hab ich verstanden! Ich habe es in meinem Fall angewendet, und da kam jetzt raus bei der 3. Ableitung ungerade und negativ. Das bedeutet ja dann, dass es keine Extremstelle ist oder? Und da ja die erste Ableitung 0 war, genauso wie die 2, dann ist das doch jetzt ein Sattelpunkt oder?