Extremstelle?
Liegt eine Extremstelle vor wenn das notwendige Kriterium erfüllt ist (f‘(x)=0) aber das hinreichende keine Aussage trifft also f‘‘(x)=0 und damit ebenfalls 0. Es kann ja nicht gesagt werden ob hoch oder tiefpunkt oder gibt es da noch andere kriterien?
4 Antworten
Ist f'(x) = 0 kann (!!) dort ein Extremum vorliegen. Ist f''(x) dann auch 0 ist man genau so schlau wie vorher. Ich empfehle daher, f' an der Stelle auf Vorzeichenwechsel zu untersuchen (Vorzeichenwechselkriterium). Wenn es nur um Extrema geht spart man sich auch noch die zweite Ableitung.
WICHTIG: viele verstehen nicht, dass f''(x) ungleich 0 ein HINREICHENDES Kriterium ist, welches nicht NOTWENDIG ist. Das bedeutet, dass wenn das Kriterium erfüllt ist, dass man dann ein Extremstelle hat, jedoch gibt es Extremstellen, die dieses Kriterium NICHT erfüllen (Beispiel x^4).
Dass die 1. Ableitung gleich 0 ist, ist ein Beispiel für ein Notwendiges Kriterium (zumindest wenn die Funktion ein Polynom ist, welches nicht konstant ist). Da jede Extremstelle f'(x)=0 erfüllen muss. Jedoch ist offensichtlich nicht jede Stelle die das erfüllt eine Extremstelle (f(x)=x^3 hat zum Beispiel keine Extremstelle), weswegen das Kriterium nicht hinreichend ist.
Wenn die 2. Ableitung ebenfalls 0 ist, kannst du das Kriterium für die 2. Ableitung nicht anwenden, da das Kriterium nur hinreichend ist, nicht notwendig.
Stattdessen gibt es 2 Möglichkeiten:
1. Du nutzt das vorzeichenwechselkriterium und schaust, ob die 1. Ableitung an dieser Stelle das Vorzeichen wechselt oder nicht. Wenn das Vorzeichen sich ändert, dann hast du eine Extremstelle, sonst einen Sattelpunkt.
2. Du bestimmst die höheren Ableitungen an der Stelle, bis du das erste Mal eine bekommst, die ungleich 0 ist.
Angenommen es ist bei der n. Ableitung der Fall. Falls n gerade ist, so hast du einen Sattelpunkt, falls n ungerade ist, eine Extremstelle.
Beispiel:
f(x)=x^4
1. Ableitung: 4x^3
2. : 12x^2
3. : 24x
4. : 24
Die ersten 3 Ableitungen sind an x=0 immer 0, die 4. Ableitung ist 24, somit ist n=4. Da 4 gerade ist, haben wir hier eine Extremstelle. Für x^5 wäre dann n=5, weswegen da eine Sattelstelle wäre.
Stimmt, habe es aber trotzdem Mal erwähnt, da man dafür den Verlauf des Graphen nicht kennen muss, und da das "ich setze werte ein die sehr nah dran sind"-Verfahren fehlerhaft sein könnte, da vielleicht dazwischen eine andere Nullstelle ist
Sehe ich auch so. Aber nachdem gebrochen rationale Funktionen (zumindest in NRW) schon lange raus sind, braucht man ja noch nichteinmal Angst zu haben, bei der VZW-Untersuchung versehentlich über eine Definitionslücke gesprungen zu sein.
Die Nullstellen der ersten Ableitung geben dir in der Regel die Extremstellen an. Sollte die zweite Ableitung an genau dieser Stelle ebenfalls eine Nullstelle besitzen, handelt es sich jedoch um einen sogenannten Terrassenpunkt. Das ist tatsächlich kein Extrempunkt. Der Graph würde an dieser Stelle kurzfristig eine Steigung von 0 annehmen, jedoch nicht sein Monotonieverhalten ändern. (Beispiel: x³)
Okay, das ist tatsächlich ein Sonderfall. Das ist ein Tiefpunkt, weil das Krümmungsverhalten gleich bleibt. Das bedeutet an der Stelle liegt kein Wendepunkt vor, obwohl die zweite Ableitung an dieser Stelle 0 ist.
Ich muss zugeben, dass ich das jetzt selbst kurz überprüfen musste, aber es gibt tatsächlich eine Ausnahme. Es ist nämlich nur dann ein Wendepunkt, wenn die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist.
Ok, du hast gewonnen. Dafür reichen meine Kenntnisse als Schüler nicht. xD
Aber du hast es ja in deiner Antwort ganz gut erklärt, wie das funktioniert. ^^
Hi,
Völlig richtig gedacht. Wenn für einen x-Wert einer Funktion, sowohl die erste Ableitung als auch die 2. Ableitungen inull ist, dann haaben wir keinen Extrempunkt, sondern einen Sattelpunkt!
LG,
Heni
Ja, da hast Du vollkommen Recht. x^4 ist die große Ausnahme, denn da ist auch f ''' =0, dann ist sogar ein VZW bei f, also haben wir sogar ein Extrempunkt vorliegen.
Wie haben gleichzeitig geschrieben. Ich bevorzuge das VZW Kriterium, weil es einsichtiger ist als das mehrfache Ableiten (Rezept...). Ist natürlich aber Geschmackssache.