Extremstelle einer Funktion bestimmen und 2. Ableitung = 0?
Hallo,
wenn ich eine Extremstelle einer Funktion bestimmen will, muss ich ja die erste Ableitung gleich 0 setzen und diesen X-Wert in f " einsetzen, um zu überprüfen, ob es sich wirklich um eine Extremstelle handelt. Doch was ist, wenn bei f "(x) auch 0 rauskommt? Ich erinnere mich, dass man dann auch irgendeinen Punkt gefunden hatte, nur welchen? Googel konnte mir leider auch nicht helfen :(
2 Antworten
Wenn f''(x) = 0, dann hast du wahrscheinlich / vielleicht einen Sattelpunkt gefunden. Du überprüfst als nächstes, ob f'''(x) ungleich 0 ist.
Beispiel: bei x^6 hast du trotzdem ein Extrempunkt, bei x^3 ein Sattelpunkt.
Dann hast du einen Sattelpunkt (wie bei f(x) = x³). Wenn die nte Ableitung ungleich 0 ist und n ungerade ist, dann hast du einen Sattelpunkt, falls n jedoch gerade ist, dann einen Extrempunkt.
Und wie sieht's bei 3. Ableitung immernoch 0 aus? Ist es dann genau andersherum? Also n= gerade --> Sattelpunkt /n= ungerade --> Extremstelle???
ist die dritte Ableitung ungleich 0, dann ist n=3, also ungerade
ist die vierte Ableitung ungleich 0, dann ist n=4, also gerade
...
Bitte formuliere deine Frage nochmal anders. Ich glaube, ich habe sie nicht verstanden.
Ok, bei meiner Funktion, die ich untersuche, ist die 3. (n=3) Ableitung immernoch 0. Was hab ich dann? Du hast mir ja bis jetzt nur verraten, was ist, wenn die Ableitungen ungleich 0 sind... :-)
Dann bildest du die nächste Ableitung und die nächste und die nächste, ... solange, bis sie zum ersten mal ungleich 0 ist. Mir fällt kein Beispiel ein, bei dem diese Situation übersprungen wird. Wenn sie theoretisch immer 0 ist, dann sind alle x Extremstellen.
f(x) = C
f'(x) = 0
...
Danke, aber bringt mich in meinem Fall auch nicht weiter... Ich habe die Extremstelle von einer Funktionsschar auf x=0 mittels 1. Ableitung bestimmt. Jetzt hab ich für f " (x) = -2k und wollte eine Fallunterscheidung für k machen, nur was ist, wenn k = 0? f " (0) wär dann ja 0 und laut theorie wär das kein Extremum, was es aber definitv ist... Ich könnt jetzt noch f "' bestimmen, aber die wär ja immer 0... Warum ist dass ein Extremum?
Wenn f''(x) = -2k ist, dann ist f'(x) = -2kx + C.
Wenn du sagst, dass f'(0) = 0 ist, folgt dass C=0 ist. Also ist f'(x) = -2kx und f(x) = -kx² + C.
Für k=0 ist f(x) = C. Diese Funktionen haben an jeder Stelle ein Extremum.
Oh, sorry, ich hab nen Fehler gemacht. f "(0) = -2k nicht f "(x). (0 ist der x-Wert der Extremstelle). Wenn k = 0, wäre f "(0)=0.
f "' (X)=24x, sodass es bei x=0 auch wieder 0 ist... Bei 0 liegt für k=0 aber ein Minimum - nur warum? :(
Hat in der Zwischenzeit dein Lehrer dir das nicht erklärt?
Naja, wenn du willst, dann zeige ich dir es einmalig. Wie lautet f(x)?
Ist jetzt nur so dahingeschmiert, aber so oder so ähnlich würde ich es machen:
f(x) = x^4-kx^2
f'(x) = 4x³-2kx = x(4x²-2k) => (x0_1 = 0, x0_2,0_3=+-Wurzel(k/2))
f''(x) = 12x² - 2k
f'''(x) = 24x
f(4)(x) = 24 !ungleich 0!
f(5)(x) = 0 usw.
f'(0) = 0
k>0:
f''(0) = -2k < 0 => Hochpunkt
k<0:
f''(0) = -2k > 0 => Tiefpunkt
k=0:
f''(0) = 0
f'''(0) = 0
f(4)(0) = 24 > 0, 4 mod 2 = 0 => Tiefpunkt
f'(Wurzel(k/2)) = 0
k>0:
f''(Wurzel(k/2)) = 12(Wurzel(k/2))² - 2k = 12 mal k/2 - 2k = 6k-2k = 4k > 0 => Tiefpunkt
k<0:
f''(Wurzel(k/2)) = 12(Wurzel(k/2))² - 2k = 12 mal k/2 - 2k = 6k-2k = 4k < 0 => Hochpunkt
k=0:
f''(Wurzel(k/2)) = 12(Wurzel(k/2))² - 2k = 12 mal k/2 - 2k = 6k-2k = 4k = 0, (Hinw.: Wurzel(k/2) = Wurzel(0) = 0
f'''(0) = 0
f(4)(0) = 24 > 0 => Tiefpunkt
PS: Dass du den 3. Extrempunkt nicht überprüfen musst, sollte klar sein, da die Funktion y-Achsensymmetrisch ist.
Damit dein Lehrer aber sieht, dass du das verstanden hast, solltest du noch unter den Berechnungen f(x) = f(-x) schreiben.
Aus dem Mathematik-Formelbuch
Maximum f´(x)=0 und f´´(x) <0
Minimum f´(x)=0 und f´´(x)>0
Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich 0
wenn bei der zweiten Ableitung 0 herauskommt,dann handelt es sich bei dieser Stelle um einen Wendepunkt !
besorge dir ein Mathematik-Formelbuch,hier stehen alle Lösungen für deine Aufgaben drin. Du musst nur wissen wo es steht und du musst damit umgehen können.
Das ist alles !!!!
Was wär denn, wenn f "' ungleich 0 ist? Sattelpunkt oder Extremstelle?