Hallo liebe Community,
ich soll beweisen, oder widerlegen, dass folgende Mengen Untervektorräume der K-Vektorräume sind.
Eine Menge U ist ja immer dann ein Untervektorraum wenn folgende vier Fragen mit ja beantwortet werden können:
- Ist U eine Untermenge von V?
- Ist der Nullvektor von V auch in U enthalten?
- Wenn v, w Element U zwei beliebige Vektoren aus U sind, ist dann auch v+w stets wieder in U?
- Wenn v Element U ein beliebiger Vektor und x Element K eine beliebige Zahl ist, ist dann auch x*v wieder in U?
Hier bei diesem Beispiel habe ich die 4 Fragen beantworten können und bewiesen, dass die Menge U ein Untervektorraum von V ist. Ist dies korrekt? Das Beispiel fand ich noch nicht so schwer.
Ergänzung: Nach ein bisschen Nachdenken ist mir aufgefallen, dass ich besonders beim Beantworten der Frage 3 und 4 mit nicht mehr sicher bin, ob dann beim Ergebnis auch die Einschränkung x+y=z zutrifft.
Ergänzung 2: Nach weiterem Nachdenken ist mir aufgefallen, dass die Einschränkung eigentlich immer erfüllt wird auch wenn ich z.B. zwei Vektoren z.B.: (x, y, z) + (a, b, c) addiere. Da ich sage, dass diese beiden Vektoren Elemente von U sind wird ja damit auch gesagt, dass x+y = z und a + b = c. Und wenn ich die beiden Vektoren addiere, dann komme ich ja auf (x+a,y+b, z+c). Also ist ja die Einschränkung erfüllt oder?
Bei diesem Beispiel habe ich auch bewiesen, dass U ein Untervektorraum von V ist. Ist dies korrekt? Bei diesem Beispiel ist ja der einzige Vektor in U (0,0) oder? Da die Einschränkung hinten ja nur für x = 0 und für y = 0 erfüllt ist, oder?
Bei diesem Beispiel weiß ich leider nicht wie ich da ran gehen soll, da ich leider noch nicht so viel mit den komplexen Zahlen gearbeitet habe. Aber rein intuitiv würde ich behaupten, dass dies kein Untervektorraum von V ist. Aber eine Erklärung hierzu würde mir sehr weiterhelfen.
Bei diesem Beispiel geht es ja um die Paritäten und um die vier Fragen zu beantworten mit der Einschränkung kann ich ja einfach alle möglichen Kombinationen aufschreiben und überprüfen ob ich mit diesen Kombinationen alle vier Fragen beantworten kann, oder?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand ein bisschen was dazu erklären könnte und mir sagen könnte ob meine Gedankengänge zu den jeweiligen Beispielen korrekt sind, oder wenigstens schonmal in die richtige Richtung gehen. Bei dem Beispiel mit den Komplexen Zahlen wäre ich sehr dankbar für eine genauere Erklärung wie ich das dort rechne.
Zur Verdeutlichung: Wenn ich eine Menge gUg^-1 betrachte, dann betrachte ich EIN festes g und bilde aus diesem festen g und seinem Inversen g^-1 und allen Elementen u aus U die neuen Elemente
gug^-1.
Kleines (nicht sehr aussagekräftiges Beispiel, weil abelsch, aber egal):
Z_4 ist die Gruppe mit vier Elementen G = {0,1,2,3} mit der Addition modulo 4.
Die hat z. B. die Untergruppe U ={0,2}.
Für g = 1 ist g U g^-1 dann
{1 + 0 + (-1), 1 + 2 + (-1)}
Ich habe das feste g (1), sein Inverses (-1) und laufe über alle Elemente der Untergruppe.
Um zu zeigen, dass U ein Normalteiler ist, muss ich das jetzt für jedes g machen:
g = 0, dann ist das Inverse auch 0 (ich betrachte ja die Addition) und
g U g^-1 = 0 + U + 0 = {0+0+0, 0+2+0} = {0,2}
g = 1, Inverses -1 (das ist 3)
g U g^-1 = {1 + 0 + (-1), 1 + 2 + (-1)} = {0,2}
g = 2, Inverses -2 (das ist 2)
g U g^-1 = {2 + 0 + (-2), 2 + 2 + (-2)} = {0,2}
g = 3, Inverses -3 (das ist 1)
g U g^-1 = {3 + 0 + (-3), 3 + 2 + (-3)} = {0,2}
Damit habe ich gezeigt, dass für jedes g aus G die Menge gUg^-1 gleich der Menge U ist. U ist also Normalteiler. (Das ist übrigens in diesem Fall trivial, da ich eine abelsche Gruppe habe. Und da ist natürlich gug^-1 = gg^-1 u = e u = u, und damit auch immer U = gUg^-1. )
Klarer?