Definition von Normalteiler, was genau heißt das?

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FataMorgana2010
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
lineare Algebra, Mathematik
06.12.2022, 01:32

Du hast die Untergruppe U.

Dann wählst du EIN g aus G aus und bildest die Menge gUg^-1. Dieses g muss nicht aus U sein (und dann ist auch g^-1 nicht in U).

Und wenn jetzt für alle g diese Menge gleich U ist, dann ist U ein Normalteiler.

Wenn g aus U ist, was ist dann gUg^-1?

Denk daran: U ist eine Untergruppe.
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)
FataMorgana2010  06.12.2022, 01:46

Zur Verdeutlichung: Wenn ich eine Menge gUg^-1 betrachte, dann betrachte ich EIN festes g und bilde aus diesem festen g und seinem Inversen g^-1 und allen Elementen u aus U die neuen Elemente

gug^-1.

Kleines (nicht sehr aussagekräftiges Beispiel, weil abelsch, aber egal):

Z_4 ist die Gruppe mit vier Elementen G = {0,1,2,3} mit der Addition modulo 4.

Die hat z. B. die Untergruppe U ={0,2}.

Für g = 1 ist g U g^-1 dann

{1 + 0 + (-1), 1 + 2 + (-1)}

Ich habe das feste g (1), sein Inverses (-1) und laufe über alle Elemente der Untergruppe.

Um zu zeigen, dass U ein Normalteiler ist, muss ich das jetzt für jedes g machen:

g = 0, dann ist das Inverse auch 0 (ich betrachte ja die Addition) und

g U g^-1 = 0 + U + 0 = {0+0+0, 0+2+0} = {0,2}

g = 1, Inverses -1 (das ist 3)

g U g^-1 = {1 + 0 + (-1), 1 + 2 + (-1)} = {0,2}

g = 2, Inverses -2 (das ist 2)

g U g^-1 = {2 + 0 + (-2), 2 + 2 + (-2)} = {0,2}

g = 3, Inverses -3 (das ist 1)

g U g^-1 = {3 + 0 + (-3), 3 + 2 + (-3)} = {0,2}

Damit habe ich gezeigt, dass für jedes g aus G die Menge gUg^-1 gleich der Menge U ist. U ist also Normalteiler. (Das ist übrigens in diesem Fall trivial, da ich eine abelsche Gruppe habe. Und da ist natürlich gug^-1 = gg^-1 u = e u = u, und damit auch immer U = gUg^-1. )

Klarer?