Warum hat Z6 als inverse Elemente die 1 und die 5?
Das stern symbolisiert die Menge der Elemente von Z6, die ein inverses besitzen. Wie besitzt denn 5 ein inverses? Die 1 verstehe ich ja, aber warum denn 5?
Und es ist so Z6 spiegelt die Menge alle Restklassen von Z modulo 6 dar. Die gehen von [0] bis [5], was ich nicht kapiere, wie kann ich da einzelne Elemente rauspicken, wie z. B. die 1 und die 5?
Ich habe doch jetzt als Menge die Relation/Äquivalenzklassen von Z mod 6, warum kann ich da z. B. die 1 und die 5 rauspicken?
2 Antworten
Ein Inverses Element der Multiplikation a^-1 ist zu einem anderen Element a so, dass a * a^-1 = e und a^-1 * a = e (da kommutativ).
Dabei ist e das neutrale Element mit x * e = x bzw. e * x = x. Hier ist das e = 1.
1 hat als Inverses sich selbst, da logischerweise 1 * 1 = e = 1.
5 hat allerdings in Z6 die 5 als Inverses, da 5 * 5 = e = 1.
Das gilt, da ja in Z6 alles mod 6 ist, also 5 * 5 = 25 % 6 = 1.
Gibt keine 11. 11 ≡ 5.
Das ist ja der ganze Sinn hinter den Restklassen. Dass man eben nicht unendlich viele Elemente auflisten muss, weil es mod Rechenregeln für Addition und Multiplikation gibt, die dafür sorgen, dass es eben egal ist, welche Representanten man nun nimmt. Man betrachtet also nur die von 0 bis 5.
Okay danke, aber Z ist ja unendlich, gibt es in den ganzen Zahlen, nich tnoch ein weiteres ELement was multipliziert mit einer Zahl und Modulo 6 gleich 1 ergibt?
ja unendlich viele, nämlich
alle
1 + k * 6 ................... zB 7*7 = 49 .... durch 6 ergibt Rest 1 = e
und alle
5 + k * 6 ................... zB 11*11 = 121 .... durch 6 ergibt Rest 1 = e
mit k ∈ Z
1 + k * 6 ist die Restklasse [1] und 5 + k * 6 die Restklasse [5].
also [1] = {a | a = 1 + k * 6 mit k ∈ Z} und [5] = {a | a = 5 + k * 6 mit k ∈ Z}
Okay danke, aber Z ist ja unendlich, gibt es in den ganzen Zahlen, nich tnoch ein weiteres ELement was multipliziert mit einer Zahl und Modulo 6 gleich 1 ergibt?