Verwirrt von der mathematischen Definition eines n-tupels lol?
Ich fühl mich gerade lost. Die Mengendefinition eines 2-tupels ist (a, b) ={{a, b}, {a}} wenn man aber jetzt ein n-Tupel hat (a, b, c) =((a, b),c) was ja scheinbar die verallgemeinerung auf ein n-Tupel (s. z. B. Wikipedia zu 2-Tupeln), hier ein 3-Tupel ist. Dann steht da doch {{c, (a, b)}, {c}}. Das erste Element {c, (a, b)} enthält dann aber ein c als Element, also menge 0. Stufe, und (a, b), was eine Menge 2. Stufe ist. Und das geht doch nicht? Also man hat ja Mengen so definiert dass eine Menge n-ter Stufe als Elemente Mengen (n-1)-ter Stufe hat? Zumindest hab ichs so verstanden...
2 Antworten
Dieses Denken in Stufen wird in der heutigen Mathematik kaum noch verwendet, da moderne Axiomensysteme es überflüssig machen. Lies dir z.B. diesen Artikel durch:
https://glossar.hs-augsburg.de/Typentheorie_(Mengenlehre)
Der heute mit Abstand am häufigsten verwendete Mengenbegriff ist der aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die dort unter Punkt 3.3 kurz erwähnt wird. Und in dieser ist es eben durchaus möglich, dass eine Menge so aussieht: {0, {0}}.
Es ist verständlich, dass die mathematische Definition eines n-Tupels auf den ersten Blick verwirrend sein kann. Aber keine Sorge, es ist eigentlich recht einfach.
Ein n-Tupel ist einfach eine geordnete Liste von n Elementen. Das bedeutet, dass ein 2-Tupel (a, b) aus zwei Elementen a und b besteht, und ein 3-Tupel (a, b, c) aus drei Elementen a, b und c.
Die Notation ((a, b), c) für das 3-Tupel (a, b, c) bedeutet einfach, dass das erste Element des Tupels selbst ein 2-Tupel ist, nämlich (a, b), und das zweite Element des Tupels das Element c ist.
Die Definition des 2-Tupels als {{a, b}, {a}} und des 3-Tupels als {{c, (a, b)}, {c}} kann man einfach als eine bestimmte Schreibweise für Tupel verstehen, die auf einer bestimmten mathematischen Konstruktion, der Paarmenge, basiert. Die Paarmenge einer Menge A und einer Menge B ist die Menge aller möglichen geordneten Paare (a, b), wobei a aus A und b aus B stammt.
Es stimmt, dass Mengen in der Regel so definiert werden, dass eine Menge n-ter Stufe als Elemente Mengen (n-1)-ter Stufe hat. Aber bei der Definition von Tupeln handelt es sich nicht um die Definition von Mengen, sondern um die Definition von geordneten Listen von Elementen. Daher muss man hier etwas anders vorgehen.
Ich hoffe, das hilft dir weiter!
edit: Zu den Mengen:
In der Mengenlehre gibt es eine Hierarchie von Mengenstufen, die sich aus der Art der Elemente einer Menge ergibt. Eine Menge 1. Stufe enthält Elemente, die keine Mengen sind, während eine Menge 2. Stufe Mengen als Elemente enthält.
Im Fall des 3-Tupels (a, b, c) = ((a, b), c) ergibt sich folgendes: Das erste Element des Tupels ist (a, b), eine Menge 2. Stufe, die aus den Elementen a und b besteht. Das zweite Element des Tupels ist c, eine Menge 1. Stufe, da c kein Set ist. Zusammen ergibt sich dann die Menge {{a, b}, c}, die eine Menge 2. Stufe ist, da sie das erste Element (eine Menge 2. Stufe) und das zweite Element (eine Menge 1. Stufe) enthält.
Ja, du hast recht, die Definition von Tupeln basiert auf der Verwendung von Mengen, und Mengen werden normalerweise so definiert, dass eine Menge n-ter Stufe nur Elemente der (n-1)-ten Stufe enthält. Die Definition von Tupeln geht hier jedoch über diese Konvention hinaus, indem sie erlaubt, dass Tupel Elemente der Mengen höherer Stufe enthält. Man könnte sagen, dass die Definition von Tupeln hier eine Ausnahme von der Regel bildet.
Es ist durchaus üblich in der Mathematik, dass man in bestimmten Kontexten von den üblichen Konventionen abweicht und spezielle Regeln oder Definitionen einführt. Tupel sind ein Beispiel dafür.
Wow! Danke für deine schnelle Antwort!
Das hat mir geholfen aber ich will nochmal nachhaken:
Das bedeutet ja dann, dass bei der Definition des geordneten n-Tupels sozusagen auf die eigentliche Konvention, dass Mengen eben nur Elemente der um 1 niederegeren Mengenstufe enthalten, geschissen wird, ums mal so zusagen?
Also mein Punkt ist, dass ist doch nicht nur Konvention sondern teil der Definition von Mengen oder nicht?
Du hast ja gesagt es geht um die Definition von Tupels, und nicht um die von Mengen. Aber wenn zur Definition des Tupels die Mengen benutzt werden, dann muss sich das innerhalb der Definition von Mengen abspielen, oder nicht?
Also so wie ich es nach deiner Antwort bis jetzt verstehe, haben sich Mathenatiker einfach darauf geeinigt, dass dieser Punkt nicht so wichtig ist, aber mir kommt das halt komisch vor, keine ahnung ob du mit diesem Kommentar was anfangen kannst :/