Was ist mit "Vektorraum über einem Körper" gemeint?

heißt „Vektorraum über einem Körper“, dass der Vektorraum eine Teilmenge des Körpers ist? Also wenn man jetzt die Natürlichen Zahlen als Körper nimmt, dann müssen alle Elemente vom Vektorraum aus den natürlichen Zahlen bestehen, ist das richtig?

Answer 1

[Jangler13]

heißt „Vektorraum über einem Körper“, dass der Vektorraum eine Teilmenge des Körpers ist?

Nein, das bedeutet dass die Skalare, für die die Skalarmultiplikation definiert ist, aus dem Körper kommen.

Also wenn man jetzt die Natürlichen Zahlen als Körper nimmt

Die natürlichen Zahlen sind kein Körper.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Comments

[Dario487]

Die natürlichen Zahlen sind kein Körper

Also ist "N" kein Körper (alle natürlichen Zahlen)?

[Jangler13]

@Dario487

(N,+,*), wobei + und * die klassische Addition/Multiplikation sind, ist kein körper, ja.

[Dario487]

@Jangler13

Nein ich meine ob "N" selber ein Körper ist (ohne Verknüpfung)?

[Jangler13]

@Dario487

So funktioniert es nicht. Ein Körper hat IMMER zwei verknüpfungen, die wichtig sind, um zu entscheiden, ob es ein Köper ist oder nicht. Und mit der klassischen additon und der klassischen Multiplikation ist es eben kein körper.

[Dario487]

@Jangler13

Aber was ist dann der Unterschied von einem Körper zu einer Gruppe, die ja auch zwei Verknüpfungen hat

(Wikipedia): In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung

[Jangler13]

@Dario487

Erster Fehler:

die ja auch ZWEI Verknüpfungen hat

Und

zusammen mit EINER Verknüpfung

Siehst du da einen Unterschied?

Zweiter Fehler:

Ein Köper muss Eigenschaften erfüllen, die eine Gruppe nicht erfüllt. Das siehst du auch, wenn du die vollständige Definition (also nicht der erste Satz aus Wikipedia) liest.