Torsionsuntergruppe bestimmen?
Hallo!
Folgende Aufgabe verstehe ich nicht...:
T(A) und T(G) sind hier die Torsionsuntergruppen
Okay also schauen wir uns mal diese Gruppen an, so wie ich sie verstanden habe:
A ist ja nichts anderes als {0} x Z/2Z. A sollte also nur {(0,0),(0,1)} sein. Beide Elemente haben offenbar endliche Ordnung, also T(A) = A.
B ist dann auch nichts anderes als Z/2Z x Z/2Z was bedeutet, dass hier auch alle Elemente endlicher Ordnung sind. Also auch T(B) = B.
Das kann aber ja nicht der Sinn der Aufgabe sein. Die Zerlegungen wie dort gefragt sind dann ja nicht möglich, weil die leere Menge keine Gruppe also insbesondere auch keine freie Gruppe ist.
Deswegen denke ich, dass ich da irgendwo etwas nicht richtig verstanden habe.. Aber was? Hier die Definition der Torsionsgruppe aus dem Skript:
eeaG bedeutet endliche erzeugte abelsche Gruppe und UG bedeutet Untergruppe.
Danke und LG
1 Antwort
A ist ja nichts anderes als {0} x Z/2Z. A sollte also nur {(0,0),(0,1)} sein.
Nein, wie kommst du darauf? Wenn z.B. (1,1) äquivalent zu einem der beiden Elemente wäre, gäbe es eine ganze Zahl m mit
(1,1) = (0,0) + (m, 2m) oder (1,1) = (0,1) + (m, 2m).
Beide Gleichungen sind offenbar nicht erfüllbar.
Beide Elemente haben offenbar endliche Ordnung
Wie oft muss ich denn (0,1) zu sich selbst addieren, um auf (0,0) zu kommen?
Zunächst sollten wir uns fragen, wie (Z+Z) / (1,2)Z aussieht. Wir können mal versuchen, ein Repräsentantensystem aufzustellen:
Wir starten mit der Restklasse von (0,0).
Dann fragen wir uns, ob (0,1) dieselbe Restklasse hat [hat sie nicht]. Also fügen wir sie hinzu.
Wir prüfen sukzessive, ob (1,0), (1,1), (0,2), (1,2), (2,2), (2,1), (2,0) etc in unserem bisherigen System vertreten sind, bis uns irgendeine Idee kommt, wie ein vollständiges Repräsentantensystem wohl aussehen mag ;)
Gute Idee, ich versuche es mal eben. Danke!
Also die Gruppe ist Z+Z/(1,2)Z und Z+Z = ZxZ, also einfach das Kartesische Produkt, da ich ja nur endlich viele Mengen aufaddiere. Diese Menge nehme ich jetzt modulo (1,2)Z. Also habe ich das so interpretiert, dass ich eben Z/1Z x Z/2Z habe und Z/1Z = {0}. Gleiches habe ich bei der Menge B gedacht...
Naja (0,1) muss ich genau einmal mit sich selbst addieren, sofern die addition komponentenweise ist:
(0,1)+(0,1) = (0+0,1+1) = (0,0).