Darf ich eine Gleichung so lösen?

3/(x+1)+1/x = 0

ich erweitere die linke Seite der Gleichung mit x/x und die rechte mit (x+1)/(x+1)

also 3x/(x(x+1))+1*(x+1)/(x(x+1)) =0

-> 4x+1/(x(x+1))=0

-> 4x+1=0

-> x=-1/4

weil ich habe in der Schule gelernt, das man alles was man links macht auch rechts machen muss. Aber ich darf doch einen Term mit Multiplikation mit 1 (x/x) oder Addition mit 0 (zb ich addiere (7-7)) zu der Gleichung) umschreiben ?

Answer 1

[mihisu]

Kurze Antwort: Ja, darfst du.

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Erweitern von Brüchen, Addition von 0, Multiplikation mit 1, etc., was den Wert nicht verändert, darfst du immer machen. (Egal wo, und egal ob du das auch auf der anderen Seite machst oder nicht.)

Bei deiner Rechnung hast du ein paar Schreibfehler gemacht. Beispielsweise müsste bei...

also 3x/(x(x+1))+1*(x+1)/(x(x*1)) =0

... statt „(x * 1)“ eigentlich „(x + 1)“ stehen.

Bei...

4x+1/(x(x+1))=0

... fehlt eine Klammer um „4x + 1“ sonst hättest du...

$4x+\frac{1}{x\cdot \left(x+1\right)}\text{ statt }\frac{4x+1}{x\cdot \left(x+1\right)}$

... da stehen.

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Also... Ja, das kann man so rechnen.

Man kann zunächst die Addition der Brüche durchführen. Und um zwei Brüche zu addieren, bringt man diese zunächst auf den gleichen Nenner, indem man die Brüche entsprechend erweitert oder kürzt.

$\frac{3}{x+1}+\frac{1}{x}=0$

$\Leftrightarrow\quad \frac{3x}{x\left(x+1\right)}+\frac{x+1}{x\cdot \left(x+1\right)}=0$

$\Leftrightarrow\quad \frac{3x+x+1}{x\cdot \left(x+1\right)}=0$

$\Leftrightarrow\quad \frac{4x+1}{x\cdot \left(x+1\right)}=0$

$\Leftrightarrow\quad 4x+1=0$

$\Leftrightarrow\quad 4x=-1$

$\Leftrightarrow\quad x=-\frac{1}{4}$

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Alternativ könnte man die Gleichung im konkreten Fall auch so lösen, dass man zunächst 1/x subtrahiert...

$\frac{3}{x+1}+\frac{1}{x}=0\quad \Leftrightarrow\quad \frac{3}{x+1}=-\frac{1}{x}$

... und dann „über Kreuz multipliziert“. D.h. man multipliziert mit x + 1, damit sich das x + 1 links wegkürzt, wofür dann auf der rechten Seite noch ein „ ⋅ (x + 1)“ entsteht, und man multipliziert mit x, damit sich das x rechts wegkürzt, wofür dann auf der linken Seite noch ein „ ⋅ x“ entsteht.

$\ldots\quad\Leftrightarrow\quad 3\cdot x=-1\cdot \left(x+1\right)$

$\quad \Leftrightarrow\quad 3x=-x-1$

$\quad \Leftrightarrow\quad 4x=-1$

$\quad \Leftrightarrow\quad x=-\frac{1}{4}$

Answer 2

[Halbrecht]

Alles ok

Aber ich darf doch einen Term mit Multiplikation mit 1 (x/x) oder umschreiben ?

Genau das ist ERWEITERN : Multiplikation mit 1 mit dem Zweck ,dass der Nenner ein anderer wird . Dabei könnte 1 auch (x² + 5x - 7)/(x² + 5x -7) sein . Hauptsache 1 .

Aus Fünfteln Zwanzigstel machen : mit 1 = 4/4 erweitern
3/5 = 3*4/5*4 = 12/20

.

Und 7-7 wendet man zum Beispiel bei der quadratischen Ergänzung an ( oder Finden des Scheitelpunktes einer Parabel )

Answer 3

[gauss58]

Bei Bruchgleichungen benötigst Du zunächst die Definitionsmenge.

Hier: D = R \ {-1 ; 0 }

-1 und 0 müssen aus der Lösungsmenge ausgeschlossen werden, weil der Nenner nicht Null werden darf.

Ich weiß nicht, wo Du das Problem siehst. Du kannst die Gleichung mit x * (x + 1) multiplizieren, um den Nenner zu eliminieren.

Answer 4

[Uwe65527]

Durch das Erweitern änderst Du auf der linken Seite nichts. Die Vorgehensweise und das Ergebnis sind korrekt. Du könntest noch erwähnen, dass 1/4 keine Nullstelle von f(x) = x und f(x) =x+1 ist, sodass der Ausdruck auf der linken Seite auch wirklich definiert ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math.

Answer 5

[SeifenkistenBOB]

Ja, darfst du.

Streng genommen multipliziert man natürlich alle Terme auf beiden Seiten der Gleichung (also links und rechts des Gleichheitszeichens) mit dem Eins-Bruch. Auf der rechten Seite der Gleichung steht also eigentlich:

$...=0\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{x+1}{x+1}=0$

Das sollte man im Hinterkopf haben, falls bei einer anderen Gleichung oder einer Umformung mal nicht die Null auf der einen Seite allein steht.