Betrag bei ln nach Integration?
Bsp. hier wurde tan(x) integriert.
kommt minus ln |cos x| heraus. Der ln ist nur für > 0 definiert.
=> d. h. ich sorge mit dem Betrag dafür das |cos x | immer größer 0 ist, sonst wäre ja der ln nicht definiert.
Danach lässt er die Betragsstriche bei cos x weg und rechnet das Integral aus.
=> Kann man das machen, dass man dann einfach die Betragsstriche weglässt, oder geht das hier nur, weil man weiß, dass cos(PI/4) und cos(0) größer Null sind?
4 Antworten
Ja, du hast das am Ende gut erfasst.
Schau dir bitte mal meine andere Frage an:
Betrag bei einer Funktion > 0 oder >= 0?
=> d. h. ich sorge mit dem Betrag dafür das |cos x | immer größer 0 ist, sonst wäre ja der ln nicht definiert.
Fast. Mit dem betrag sorgst du dafür, dass das Argument vom Logarithmus nichtnegativ ist, d.h. größer oder gleich null. Für x = pi/2 z.B. wäre der ln nicht definiert, man könnte höchstens das Grenzverhalten betrachten.
=> Kann man das machen, dass man dann einfach die Betragsstriche weglässt, oder geht das hier nur, weil man weiß, dass cos(PI/4) und cos(0) größer Null sind?
Zweiteres, ja. Betragsstriche darfst du weglassen, wenn der Ausdruck im Betrag nichtnegativ ist, da der Betrag dann keine Veränderung vornimmt. Allgemein darfst du den aber natürlich nicht weglassen.
Genau. Aber der Betrag sorgt nicht dafür, das |cosx| größer null ist, sondern nur dafür, dass |cosx| größer oder gleich null ist. Für x = pi/2 ist nämlich auch trotz des Betrages |cosx| = 0. Verstehst du, was ich meine?
weil man weiß, dass cos(PI/4) und cos(0) größer Null sind?
Der Kosinus muss im gesamten Integrationsbereich größer 0 sein
(Wahrscheinlich meinst du das auch so)
"weil man weiß, dass cos(PI/4) und cos(0) größer Null sind?
Der Kosinus muss im gesamten Integrationsbereich größer 0 sein
(Wahrscheinlich meinst du das auch so)"
====================================================
In einer mathematischen Argumentation genügt es natürlich nicht, dass man so etwas "vielleicht gemeint" hat, sondern man muss immer alles Wesentliche exakt ausdrücken !
Stelle Dir das Integral als Fläche vor. Die Fläche vom Cos oberhalb 0 ist Positiv und gleich groß zur Fläche unterhalb der 0-Linie.
"Fast. Mit dem Betrag sorgst du dafür, dass das Argument vom Logarithmus nicht negativ ist, d.h. größer oder gleich null."
Wie du geschrieben hast, wenn man x = pi/2 einsetzt ergibt cos(pi/2) = 0,
dann wäre ln(| cos(PI/2) | nicht definiert, als muss cos(x) > 0 immer gelten