Integrationsgrenzen (mehrdimensionale Integration?
Hallo, ich verstehe aktuell nicht, wie man bei der Volumenberechnung auf die Integrationsgrenzen für den Radius ϱ.
Ich habe mir den Körper skizziert.
(1) Ist der Körper korrekt skizziert?
Anschließend habe ich versucht die Integrationsgrenzen für den Radius ϱ zu bestimmen. Ich erhalte untenstehenden Ausdruck. Der macht allerdings für mich absolut keinen Sinn. Denn für z=2 resultiert "0/...".
(2) Wo ist der Fehler?
Für die anderen zwei Integrale erhalte ich die Grenzen: φ=pi/2 bis -pi/2 & Θ=0 bis pi/2.
(3) Sind die Grenzen wenigstens korrekt?
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen, da ich einfach nicht vorankomme...
3 Antworten
Da die Kugelkoordinaten "gestreckt" wurden, solle man über rho von 0 bis 1 integrieren können. Bei der Funktionaldeterminante dürfte es allerdings nicht beim rho^2 sin(theta) bleiben, die musst du entsprechend anpassen.
Schau dir nochmal das Prinzip Kugelkoordinaten genauer an. Der Vektor oben im Bild stellt (x,y,z) dar.
Genau, die Funktionaldeterminante ändert sich. Danke dafür.
Kannst du mir noch kurz erläutern, wie du auf rho von 0 bis 1 kommst? Meiner Logik widerspricht der Radius ein wenig. Wenn ich mir die Skizzen anschaue, wäre ich davon ausgegangen dass sich der Radius zwischen 0 und 3 bewegt?!
Bspw. für rho(z=2)=0 & rho(z=0)=3
Zum Beispiel ist z = 2 rho cos(theta), also läuft rho von 0 bis 1, damit z von -2 bis 2 laufen kann.
Es handelt sich um einen Rotations-Ellipsoiden - die Kugelkoordinaten werden gerade so angepasst und gestreckt, dass über rho von 0 bis 1 integriert werden kann…
Ergänzung: Müsste rho nicht eine Funktion von z sein?
Sehe auch, dass x <= 0 ist; also nur ein Viertel des Ellipsoiden; z ist eine Funktion von rho und den Winkeln, so, wie in den Koordinaten angegeben…
Wäre dann mein Ansatz in roter Schrift im Bild korrekt? Das ist nämlich der Knackpunkt. Ich bin zurzeit einfach extrem verwirrt wie ich den rho(z) herausfinde, um die Integralgrenzen zu definieren. Denn wenn rho von z abhängt, darf ich ja nicht stumpf sagen die Integrationsgrenzen sind rho=0 bis rho=1... :/
Danke, wie genau kommst du auf rho 0 bis 1? Da hängt es gerade bei mir.
Muss man dafür in der gegebenen Gleichung für x, y & z die Kugelkoordinaten einsetzen und nach rho auflösen? Falls ja, wie kann das sein. Wenn ich mir die Skizze anschaue, dann hätte ich gesagt rho(z=0)=3 und rho(z=2)=0. Das würde dem widersprechen...?!
Weil die beiden grossen Halbachsen des Ellipsoiden die Länge 3 und die kleine Halbachse die Länge 2 hat. In den angepassten Kugelkoordinaten wurde gerade mit den entsprechenden Längen multipliziert - sorry, sehe gerade, dass z >= 0 ist; damit ist das betrachtete Volumen nur die obere Hälfte des Rotations-Ellipsoiden. Das ändert aber nichts an den Integrationsgrenzen für rho…
Hallo,
also ich denke die Zeichnungen dürften so passen, laut der Transformation hast du 3 ro, was du ja unter 3 angegeben. Die restlichen Bedingungen wurden auch berücksichtigt.
Bei der Bestimmung kannst du jetzt noch z einsetzten und dann die Bedingungen für phi und Theta einsetzen. Aus den Bedingungen folgt, dass phi von pi/2 bis 3/2 pi läuft und Theta von 0 bis pi/2. Die jeweiligen Bedingungen könntest du in rho einmal für rho_max und rho_min einsetzen.
Hoffe ich habe das jetzt richtig analysiert. Und hoffe es hilft dir weiter. Und btw. wenn du dann über die Kugelkoordinaten integrieren möchtest, denk an die Jacobi- der (glaub so hieß das)
Ergänzung: Müsste rho nicht eine Funktion von z sein?