Berechnen von Flächeninhalten (Analysis)?

Was kommt bei der Aufgabe 4a) raus?

Answer 1

[mihisu]

Den Flächeninhalt erhält man durch...

$\int\limits_{1\text{,}2}^{5\text{,}6}\left\lvert f(x)\right\rvert\,\text{d}x$

Zunächst sollest du die Nullstellen der Funktion f berechnen, um festzustellen, wo f(x) gegebenenfalls das Vorzeichen wechselst, also ob irgendwelche Teile getrennt voneinander berechnet werden müssen.

$f(x)=0\quad \Leftrightarrow\quad \frac{1}{2}x^2-3x+\frac{7}{2}=0$

$\quad \Leftrightarrow\quad x^2-6x+7=0$

$\quad \Leftrightarrow\quad x=-\frac{\left(-6\right)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-6\right)}{2}\right)^{2}-7}$

$\quad \Leftrightarrow\quad x=3\pm\sqrt{9-7}$

$\quad \Leftrightarrow\quad x=3\pm\sqrt{2}$

$\quad \Leftrightarrow\quad x=3-\sqrt{2}\approx 1\text{,}59\ \vee\ x=3+\sqrt{2}\approx 4\text{,}41$

Dementsprechend muss man das Integral an den Stellen x = 3 - √(2) bzw. x = 3 + √(2) aufteilen, da dort f(x) das Vorzeichen wechselt.

• Für x < 3 - √(2) ist f(x) positiv, also |f(x)| = f(x).
• Für 3 - √(2) < x < 3 + √(2) ist f(x) negativ, also |f(x)| = -f(x).
• Für x > 3 + √(2) ist f(x) positiv, also |f(x)| = f(x).

Also...

$A=\int\limits_{1\text{,}2}^{5\text{,}6}\left\lvert f(x)\right\rvert\,\text{d}x$

$A=\underbrace{\int\limits_{1\text{,}2}^{3-\sqrt{2}}\left\lvert f(x)\right\rvert\,\text{d}x}_{A_1}+\underbrace{\int\limits_{3-\sqrt{2}}^{3+\sqrt{2}}\left\lvert f(x)\right\rvert\,\text{d}x}_{A_2}+\underbrace{\int\limits_{3+\sqrt{2}}^{5\text{,}6}\left\lvert f(x)\right\rvert\,\text{d}x}_{A_3}$

$A=\underbrace{\int\limits_{1\text{,}2}^{3-\sqrt{2}} f(x)\,\text{d}x}_{A_1}+\underbrace{\int\limits_{3-\sqrt{2}}^{3+\sqrt{2}}\left(-f(x)\right)\,\text{d}x}_{A_2}+\underbrace{\int\limits_{3+\sqrt{2}}^{5\text{,}6} f(x) \,\text{d}x}_{A_3}$

$A=\int\limits_{1\text{,}2}^{3-\sqrt{2}} f(x)\,\text{d}x-\int\limits_{3-\sqrt{2}}^{3+\sqrt{2}} f(x) \,\text{d}x+\int\limits_{3+\sqrt{2}}^{5\text{,}6} f(x) \,\text{d}x$

Anschaulich...

Bedenke... Das Integral von f(x) im Bereich zwischen x = 3 - √(2) und x = 3 + √(2) wäre negativ. Deswegen muss man bei der Berechnung das Vorzeichen für diesen Bereich ändern.

[Hinweis: Du brauchst dir eigentlich zu diesem Zeitpunkt noch keine großen Gedanken zu machen, in welchem der Bereiche du die Vorzeichen ändern musst. Wichtig ist erst einmal, dass du die relevanten Bereiche voneinander abgrenzt. Wenn du dann in den einzelnen Bereichen die Integrale berechnest, merkst du schon, bei welchen Bereichen du negative Werte erhältst und dementsprechend dann das Vorzeichen ändern musst.]

$A=\int\limits_{1\text{,}2}^{3-\sqrt{2}} \left(\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{7}{2}\right)\,\text{d}x-\int\limits_{3-\sqrt{2}}^{3+\sqrt{2}} \left(\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{7}{2}\right) \,\text{d}x+\int\limits_{3+\sqrt{2}}^{5\text{,}6} \left(\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{7}{2}\right) \,\text{d}x$

$A=\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{7}{2}x\right]_{1\text{,}2}^{3-\sqrt{2}}-\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{7}{2}x\right]_{3-\sqrt{2}}^{3+\sqrt{2}}+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{7}{2}x\right]_{3+\sqrt{2}}^{5\text{,}6}$

$A=\left[\frac{1}{6}\cdot \left(3-\sqrt{2}\right)^3-\frac{3}{2}\cdot \left(3-\sqrt{2}\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(3-\sqrt{2}\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot \left(1\text{,}2\right)^3-\frac{3}{2}\cdot \left(1\text{,}2\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(1\text{,}2\right)\right)\right]-\left[\frac{1}{6}\cdot \left(3+\sqrt{2}\right)^3-\frac{3}{2}\cdot \left(3+\sqrt{2}\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(3+\sqrt{2}\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot \left(3-\sqrt{2}\right)^3-\frac{3}{2}\cdot \left(3-\sqrt{2}\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(3-\sqrt{2}\right)\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\cdot \left(5\text{,}6\right)^3-\frac{3}{2}\cdot \left(5\text{,}6\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(5\text{,}6\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot \left(3+\sqrt{2}\right)^3-\frac{3}{2}\cdot \left(3+\sqrt{2}\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(3+\sqrt{2}\right)\right)\right]$

$A=\underbrace{\left[\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3}-\frac{207}{250}\right]}_{\approx 0\text{,}11}-\underbrace{\left[-\frac{4\cdot \sqrt{2}}{3}\right]}_{\approx -1\text{,}89}+\underbrace{\left[\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3}+\frac{247}{750}\right]}_{\approx 1\text{,}27}$

$A=\frac{8\cdot \sqrt{2}}{3}-\frac{187}{375}\underline{\underline{{}\approx 3\text{,}27}}$

Comments

[Sunnyshinne]

Danke für die ausführliche Erklärung! Jetzt habe ich es verstanden.

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

zunächst mußt Du prüfen, ob sich innerhalb des angegebenen Intervalls Nullstellen befinden. Wenn Du diese ignorierst und einfach von Intervall-Untergrenze bis -Obergrenze integrierst, bekämst Du nur den Unterschied zwischen den Flächen heraus, die sich oberhalb und unterhalb der x-Achse befinden, denn Letztere würden negativ gezählt.

Die erste Funktion hat zwei Nullstellen innerhalb des Intervalls [1,2;5,6].

Du integrierst also zunächst von 1,2 bis zur ersten Nullstelle, dann von Nullstelle 1 bis zu Nullstelle 2 (oder besser von Nullstelle 2 zu Nullstelle 1 - so wird das Ergebnis automatisch positiv, wenn gilt Nullstelle 1<Nullstelle 2 - zuletzt von Nullstelle 2 bis 5,6.

Die drei Ergebnisse bzw. deren Beträge zuletzt addieren, um die Gesamtfläche zu bekommen.

Zur Kontrolle: F ergibt etwa 3,27 FE (gerundet).

Bei der zweiten Funktion liegt die Nullstelle x=0 dazwischen. Also -Wurzel (2) bis 0, dann von 0 bis 2 integrieren und die Beträge addieren.

Stammfunktion über Substitution x²+1=u, so daß sich 2x über den Substitutionsausgleich wegkürzt.

Herzliche Grüße,

Willy

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[Sunnyshinne]

Danke für die Erklärung! Jetzt habe ich es verstanden.

Answer 3

[GreenxPiece]

Du musst einfach das bestimmte integral der Funktion berechnen mit den Grenzen, die im intervall gegeben sind

Comments

[Sunnyshinne]

Ich habe 5/6 FE raus. Ist das richtig?

[GreenxPiece]

@Sunnyshinne

Ne das ist falsch. Was hast du als integral raus? Also bevor du die Grenzen einsetzt?

[Sunnyshinne]

@GreenxPiece

Zuerst habe ich die Nullstellen berechnet und dann habe ich den Flächeninhalt berechnet.

[Sunnyshinne]

@GreenxPiece

Ich habe drei Integrale berechnet, das erste Integral befindet sich im positiven, das zweite im negativen und das dritte im positiven Bereich.

[GreenxPiece]

@Sunnyshinne

Achso ja so kann man das auch interpretieren. Dann ist deine Vorgehensweise zwar korrekt aber auch dann stimmt das Ergebnis von 5/6 nicht. Wie ist denn das unbestimmte integral das du berechnet hast? Das ist ja für alle 3 teilabschnitte gleich. Ich schätze entweder da liegt der Fehler oder dann einfach Rechenfehler nach dem einsetzen.

PS: für diesen Fall habe ich ungefähr 3,27 raus

[Sunnyshinne]

@GreenxPiece

Ich habe zwei Nullstellen berechnet. Beim ersten Integral habe ich 1 bis 1,59, beim zweiten Integral 1,59 bis 4,41 und beim dritten Integral 4,41 bis 6.

[GreenxPiece]

@Sunnyshinne

Ja das kommt hin. Aber welche stammfuntion hast du denn berechnet. Mal ohne Blick auf die grenzen.

Ps: Die obere Grenze muss doch 5,6 sein. Nicht 6

[Sunnyshinne]

@GreenxPiece

Man braucht die Stammfunktion doch gar nicht oder? Ich muss doch nur den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen f und der x-Achse berechnen. Da brauche ich die Stammfunktion doch garnicht.

[GreenxPiece]

@Sunnyshinne

Na selbstverständlich brauchst du die. Wie willst du denn sonst die Fläche unter dem funktionsgraph ausrechnen?

[Sunnyshinne]

@GreenxPiece

Achso, jetzt weiß ich, was ich für einen Fehler gemacht habe. Ich habe statt 1,2 -> eine 1 und statt 5,6 -> eine 6 genommen. Deshalb bin ich auch auf ein falsches Ergebnis gekommen. Danke für die Hilfe.

[GreenxPiece]

@Sunnyshinne

Dann stimmt 5/6 immernoch nicht!! Wie bist du überhaupt auf 5/6 gekommen wenn du nicht die stammfuntion gebildet hast? Nichts für ungut aber du hast deinen Fehler absolut nicht gefunden.

[Sunnyshinne]

@GreenxPiece

Ich habe nicht mit dem Intervall 1,2 sondern mit dem Intervall von 1 gerechnet. Ich habe ein falsches Intervall genommen und bin dadurch auf das falsche Ergebnis gekommen. Jetzt bekomme ich 3,27 FE raus.