Bekanntes Problem der 3 Türen, jedoch folgendes Problem?
Zuerst einmal zum Konzept das die meisten wahrscheinlich kennen.
Es gibt 3 Türen hinter 2 befinden sich Ziegen und hinter einer 1 Auto. Es wird von einem Moderator geleitet, der weiß, was sich hinter jeder Tür befindet. Am Anfang musst du dich für eine Tür entscheiden. Nach deiner Entscheidung muss der Moderator eine Tür mit einer Ziege die deine gewählte Tür nicht beinhaltet öffnen. Nun kannst du dich entscheiden entweder bei deiner Tür zu bleiben oder zur verbleibenden geschlossenen Tür zu wechseln. Der Wechsel soll eine 2/3 wahrscheinlich für das Auto haben und das bleiben eine 1/3 Wahrscheinlichkeit.
Alles schön und gut. Nun zu dem Punkt den ich nicht verstehe.
Wie kann es sein, das wenn ich sagen wir mal Tür 1 wähle und Tür 3 geöffnet wird, die Wahrscheinlichkeit von Tür 2 auf 2/3 steigt, wenn ich jedoch bei genau dem selben Scenario Tür 2 nehme und wieder Tür 3 geöffnet wird nun Tür 1 auch eine wahrscheinlich von 2/3 hat.
Ich verstehe ja das sich die Wahrscheinlichkeit Aufgrund der Anfangswahl und der anderen Faktoren erhöht, aber verstehe nicht, wie es zu dem Beschriebenen Beispiel kommen kann. Wegen diesem Beispiel glaube ich nicht an die 2/3 Wahrscheinlichkeit
Kann mir da jemand weiterhelfen. Chat gpt etc. sind da keine Hilfe. Bitte auch nicht mit den 50/50 ankommen, da waren Wissenschaftler dran, die zu der Erkenntnis mit 1/3 zu 2/3 gekommen sind.
Ich will nur verstehen wie es genau dazu kommt. Ich verstehe, das die Türen nach dem öffnen zusammengenommen werden, weil die gewählte Tür beim Auswahl der Tür mit einer Ziege nicht berücksichtigt werden kann. Dann bleibt aber weiterhin mein oben genanntes Problem.
6 Antworten
"Wie kann es sein, das wenn ich sagen wir mal Tür 1 wähle und Tür 3 geöffnet wird, die Wahrscheinlichkeit von Tür 2 auf 2/3 steigt, wenn ich jedoch bei genau dem selben Scenario Tür 2 nehme und wieder Tür 3 geöffnet wird nun Tür 1 auch eine wahrscheinlich von 2/3 hat."
Mit deiner Beobachtung hast du Recht.
Beide Türen haben eine gleich hohe Wahrscheinlichkeit, wenn du deine erste Tür wählst, und auch wenn dir nach öffnen einer Ziegentür der Wechsel angeboten wird.
Selbst die 2/3 bei Tür 1 oder die 2/3 bei Tür 2 sind gleich hoch, wenn du zuerst die andere Tür gewählt hattest. Nur die Wahrscheinlichkeit für Gewinn beträgt immer 100%, wenn man alle Türen zusammenzählt. Da beide Türen gleiche Chancen haben, also 50/50
Durch das Öffnen der 3. Tür (mit der Ziege) erhöht sich die Gewinnwahrscheinlichkeit für beide Türen um je (1/3 x 0,5) = 1/6 auf 1/2.
Wohlgemerkt für beide Türen.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Indifferenzprinzip
hier noch ein paar ältere Gedanken dazu:
Durch das Öffnen der 3. Tür (mit der Ziege) erhöht sich die Gewinnwahrscheinlichkeit für beide Türen um je (1/3 x 0,5 = 1/6) auf 1/2.
Wenn du eine der 3 Türen gewählt hast, dann gibt es 2 Möglichkeiten:
- Möglichkeit 1: Die gewählte Tür ist die Auto-Tür. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 1/3.
- Möglichkeit 2: Die gewählte Tür ist NICHT die Autotür. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 2/3.
=> Egal welche Tür du gewählt hast, die Wahrscheinlichkeit, dass sie NICHT die Auto-Tür ist, sondern dass eine der beiden anderen Türen die Auto-Tür ist, beträgt 2/3.
Dass der Moderator jetzt eine der beiden anderen Türen öffnet, von der er weiß, dass sie eine Ziegen-Tür ist, das ändert nichts an den Wahrscheinlichkeiten für Möglichkeit 1 und Möglichkeit 2.
Das bewirkt lediglich, dass von den beiden anderen Türen, für die die Wahrscheinlichkeit insgesamt 2/3 beträgt, jetzt nur noch eine Tür direkt auswählbar ist.
Und für diese Tür beträgt die Wahrscheinlichkeit dann 2/3.
Alles klar?
Grundsätzlich ist es also immer die günstigere Strategie, zu wechseln, denn bei einem Wechsel verdoppelt sich die Wahrscheinlichkeit, da der Wechsel bedeutet, dass man statt nur einer Tür => 2 Türen wählt.
Ich finde ein Intuitives Verständnis liefert folgender Ansatz. Stell dir vor es sind 100 (oder 100.000 etc.) Tore. 1 mit Auto, 99 mit Ziegen. Also hast du 1% Wahrscheinlichkeit das Tor mit dem Auto zu treffen oder anders gedacht, du hast zu 99% die Chance ein Tor mit Ziege gewählt zu haben. Du wählst nun irgendein tor, und der Moderator öffnet 98 Tore mit Ziegen. Die Chance dass du zu Beginn das Tor mit Auto gewählt hast, bleibt immernoch bei 1%. Die Chance dass das Auto hinter dem einzigen anderen Tor ist, dass nicht geöffnet wurde dementsprechend bei 99%. (100% - 1%)
Analog eben mit 3 Toren. Du wählst ein Tor, und die Chance dass hinter dem gewählten Tor ein Auto ist beträgt 33%. Dabei bleibt es auch, wenn der Moderator ein Tor mit der Ziege öffnet.
Hinter dem ganzen , für mich verständlichen , NichtVerstehen stecken m.E zwei Sachen
1) Man traut Mathe nicht
2) Die Angst , dass schon bei der ersten Wahl gewonnene Auto, wieder aus der Hand zu geben
.
Dasselbe Problem haben die notorischen "gleich kommt Schwarz"-Gläubigen im Casino, wenn x-mal Rot dran war.
Sorry versteh nicht was du meinst mit 2 mal stattfinden und selbes Tor.
Also 100 Tore identisches Szenario sowie 2 Durchläufe. Du entscheidest dich für Tor 1 und es Bleibt Tor 10 übrig. Der Wechsel zu Tor 10 erhöht die Wahrscheinlichkeit. 2 Durchlauf selbes Szenario, du entscheidest dich jedoch am Anfang für Tor 10 und nicht Tor 1, dann ist die Wahrscheinlichkeit für Tor 1 höher.
Obwohl man nicht weiß was hinter beiden Toren liegt, ist jeweils das Andere Tor wahrscheinlicher. Das obwohl man weiterhin nicht weiß, was hinter den beiden Toren verborgen liegt.
Du packst hier aber ein schon etwas näher oder besser gesagt anders definiertes Szenario aus. Denn du nimmst einfach an, dass diese 2 Durchläufe "gleich" wären, aber das ist auch nur ein Zufall, wenn bei 2 Durchläufen dasselbe 2. Tor übrigbleibt. Und alleine aus diesem Umstand entsteht IMO deine Verwirrung, denn das wäre dann tatsächlich sehr merkwürdig. Jedoch, es sind, wie gesagt, nur 2 zufällig gleiche Tore. Und wenn man nur diese beiden Fälle abgleicht lässt man alle anderen einfach aussen vor - und damit verfälscht man die Wahrscheinlichkeiten dann wiederum.
Was bei deiner Annahme IMO tatsächlich verglichen wird:
Das erste Tor ist ja immer frei wählbar vom Kandidaten. Wir nehmen einfach mal an, dieser hätte ein "festes" Muster für seine Erstwahl und nähme in beiden Fällen das Tor 1, vielleicht weil die 1 seine Lieblingszahl ist oder das Tor am nächsten zu ihm ist oder aus einem anderen zufälligen Grund; zumindest liegt keinerlei Hinweis/Verdacht vor, dass man ihn irgendwie manipuliert hätte zu einer bestimmten Wahl.
Das zweite Tor muss aber dann zu 99% der Gewinn sein - und wenn dieser Gewinn wirklich zufällig in beiden Fällen IRGENDWO platziert wurde, dann kannst du nicht einfach sagen/annehmen, dass beide Male der Gewinn hinter Tor 10 ist - und zu ganz geringer Wahrscheinlichkeit auch unter dem Tor 1.
Die weiteren Überlegungen deinerseits werden damit hinfällig, weil du halt einen absoluten Sonderfall herrausgepickt hast.
Bitte auch nicht mit den 50/50 ankommen
geht aber nicht anders. Die Fakten der Mathematik sind eben die Fakten
Vieles was so ist es ist , verstehe ich auch nicht 100%
erstmal : du weißt hoffentlich ,dass man mit Simulation feststellen kann, dass das ändern der Tür zum Erfolg führt
.
Die erste Tür hat man mit 33% gewählt. Die Wahrsch bleibt
änderst du aber die Tür , ist die Wahl zu 50% korrekt
.
Mit den 50% wäre ich einverstanden, aber das ist ja nun mal nicht der Fall. Such mal nach dem Problem und der Lösung und da findest du heraus, dass das Wechseln dafür Sorgt, das die Wahrscheinlichkeit auf 66,6% steigt.
deine erste Wahl hatte die Gewinn-WK 1/3... und das was übrig bleibt, hat 2/3... was sonst? giggle
Einfach erklärt: es gibt 3 Szenarien.
Einmal das Szenario, dass du direkt die richtige Tür auswählst und zweimal das Szenario, dass du die falsche Tür auswählst.
Bist du beim Szenario mit der richtigen Tür direkt am Anfang, kann der Quizmaster eine der zwei verbliebenen Türen aufmachen.
Bist du beim Szenario mit der falschen Tür am Anfang, kann der Quizmaster nur eine der zwei Türen öffnen und hinter der andern, die die noch ungeöffnet ist, befindet sich das Auto.
wenn du beim ersten Szenario wechselst, hast du eine Niete.
Wenn du bei den anderen zwei Szenarien wechselt, trifft du immer das Auto. In dem Fall gewinnst du durch wechseln in zwei der drei Szenarien.
Ich hoffe, dass es einigermaßen verständlich ist :)
Das verstehe ich ja, aber verstehe eben nicht, wie man da die Tore einfach zusammenrechen kann. Aufgrund von dem Problem, Welches ich geschildert habe.
P(E) = Wahrscheinlichkeit, dass hinter einer Tür das Auto steht = 1/3
P(T) = Whsk, dass eine mögliche Tür (Türen, die NICHT gewählt wurden) vom Quizmaster geschlossen bleibt = 1/2
P(T|E) = Whsk, mit der der Quizmaster eine Tür geschlossen lässt unter der Bedingung, dass hinter der Tür das Auto steht = 1
P(E|T) = Whsk, mit der hinter der vom Quizmaster NICHT geöffneten Tür das Auto steht = GESUCHT
Satz von Bayes: P(A|B) = P(B|A) * (P(A)/P(B))
—> P(E|T) = P(E|T) * (P(E)/P(T)) = 1 * (1/3)/(1/2) = 2/3
Okay ich hab zwar bisschen lange gebraucht, das zu kapieren, aber das in einer Form zu lesen die als Gleichung dargestellt ist, die verständlich und nachvollziehbar rübergebracht ist, hat mir glaube ich einfach gefehlt. Vielen dank dafür.
"P(E|T) = Whsk, mit der hinter der vom Quizmaster NICHT geöffneten Tür das Auto steht = GESUCHT"
Da der Quitzmaster einen Wissensvorsprung hat, und nie die Tür mit dem Auto öffnet, steht das Auto zu 100% hinter einer nicht geöffneten Tür.
Ohne Wissensvorsprung wären in 2 von 3 Fällen (2/3) das Auto hinter der nicht geöffneten Tür.
Wie hast du in deiner Formel berücksichtigt, daß der Quitzmaster immer eine Tür öffnet, die eine Ziege enthàlt, und niemals das Auto?
nächste Frage:
"P(T) = Whsk, dass eine mögliche Tür (Türen, die NICHT gewählt wurden) vom Quizmaster geschlossen bleibt = 1/2"
Der Quitzmaster wird zu 100% EINE mögliche Tür geschlossen halten
dritte Frage
"P(T|E) = Whsk, mit der der Quizmaster eine Tür geschlossen lässt unter der Bedingung, dass hinter der Tür das Auto steht = 1"
Er wird auch zu 100% eine Tür geschlossen halten, wenn das Auto hinter der Tür ist, die du gewählt hast.
Deine Formel suggeriert wohl (ich verstehe die Formeln nicht wirklich), daß die geschlossene Tür das Auto enthält. Aber es wird auch EINE Tür geschlossen gehalten, wenn nur 2 Ziegen hinter den Türen sind.
Korrektur
Ohne Wissensvorsprung wären in 2 von 3 Fällen (2/3) das Auto hinter EINER nicht geöffneten Tür.
Das war bisher die einfachste Erklärung zu dem beschriebenem Szenario, die ich bisher gesehen habe. Jedoch bezieht sich meine Frage ja auf einem spezifischen Aspekt. Also wenn Ich Quasi das ganze Scenario 2 mal abspiele, mich jedoch für die jeweils andere Tür entscheide. Also natürlich vorausgesetzt es wird in beiden Szenarien Tür 3 geöffnet. Wie es dann sein kann, das die jeweils andere Tür wahrscheinlicher ist. Für mich macht es halt wenig Sinn, das nur durch die Anfangsentscheidung die jeweils andere Auswahl besser sein kann.
Mein Problem bleibt ja das gleiche. Mit diesem Ansatz haben es ja auch schon andere Leute versucht zu erklären. Aber sagen wir es sin 100 Tore, dann ist mein Problem, das wenn das ganze 2 Mal stattfindet und die beiden Tore die übrig bleiben die selben sind, man sich am Anfang jedoch für das jeweils andere Tor entschieden hat, beide sowohl wahrscheinlicher als auch unwahrscheinlicher sind. Mir will nicht in den Kopf wie das sein kann.