Ziegenproblem mit 100 Türen | Satz von Bayes?
Angenommen: Wir haben 100 Türe, hinter einer Tür ist ein Auto, hinter dem Rest Ziegen.
Gast wählt Tür 1, Auto ist hinter Tür 2, Moderator öffnet Türen 3 bis 100.
Ansatz:
Satz von Bayers:
Wir wollen also die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Auto hinter Tür 2 ist (A2), wenn die Türen 3 bis 100 geöffnet wurden (N3-N100)
Für P(N3-N100|A2) habe ich = 1
Da die Wahrscheinlichkeit, dass die Türen 3 bis 100 geöffnet werden, wenn das Auto hinter Tür 2 ist und der Gast Tür 1 gewählt hat gleich 100% ist.
Für P(N3-N100|A1) habe ich = 98/99, da man nun auch Tür 2 öffnen kann.
Für P(A1) = P(A2) = .. = P(A100) habe ich 1/100
Da die Wahrscheinlichkeit, dass hinter jeder Tür das Auto ist gleich 1/100 ist.
P(N3-N100|A3) = P(N3-N100|A4) = .. = P(N3-N100|A100) habe ich gleich 0, da die Wahrscheinlichkeit, dass die Türen 3 bis 100 geöffnet werden, wenn das Auto hinter den Türen 3 bis 100 ist, gleich null ist.
Wenn ich aber nun alles in die obere Formel eingebe bekomme ich 0,01 = 1%, die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2 sein sollte, sollte aber 99% sein. Wo liegt mein Fehler?
1 Antwort
Für P(N3-N100|A1) habe ich = 98/99, da man nun auch Tür 2 öffnen kann.
Das klingt für mich so, als hättest du diese Wahrscheinlichkeit falsch interpretiert. Das ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass der Moderator die Türen 3 bis 100 öffnet, wenn sich hinter Tür 1 der Hauptgewinn befindet. Wenn der Moderator "fair" ist, gibt er jeder der 99 falschen Türen dieselbe Chance, beim Öffnen übersprungen zu werden. Damit wäre aber
P(N3-N100|A1) = 1/99.
P(A2│N3-N100)= ( 1/100 * 1)/(1/99 *1/100 +1 *1/100 +⋯+98/99 *1/100 )
Wo hast du denn diese letzten Summanden her? Du hast doch schon herausgefunden, dass P(N3-N100|Ai) = 0 für i = 3, 4, ..., 100 gilt. Damit bleibt nur
(1 / 100 * 1) / (1/99 * 1/100 + 1 * 1/100 + 0 + 0 + ... + 0)
= (1/100 * 1) / (1/99 * 1/100 + 1 * 1/100)
stehen.
Achso, vielen Dank! Ich komme jetzt auf 0,99!
Wenn ich in meiner Berechnung die 98/99 mit 1/99 wechsle, bekomme ich trotzdem rund 0,1% raus.
P(A2│N3-N100)= (P(A2) * P (N3-N100|A2))/(P(N3-N100|A1) *P(A1) +P(N3-N100|A2) *P(A2)+⋯+P(N3-N100|A100) *P(A100) )
P(A2│N3-N100)= ( 1/100 * 1)/(1/99 *1/100 +1 *1/100 +⋯+98/99 *1/100 ) = 0,01 = 1%