Ist die Wahrscheinlichkeit beim Ziegenproblem nicht eigentlich 50%?
Hallo,
folgende Annahme: Der Kandidat entscheidet sich für die erste Tür.
Fall 1: Das Auto ist hinter der ersten Tür. Der Moderator öffnet die zweite Tür, hinter der logischerweise eine Ziege ist. In diesem Fall sollte der Kandidat nicht wechseln=🙂.
Fall 2: Das Auto ist hinter der ersten Tür. Der Moderator öffnet die dritte Tür, hinter der logischerweise eine Ziehen ist. In diesem Fall sollte der Kandidat nicht wechseln=🙂.
Fall 3: Das Auto ist hinter der zweiten Tür. Da der Moderator zwingend nicht die Tür mit dem Auto und die die der Kandidat gewählt hat aufdecken darf, kann er nur Tür 3 aufdecken, logischerweise eine Ziege. In diesem Fall sollte der Kandidat wechseln=🙁.
Fall 4: Das Auto ist hinter der dritten Tür. Da der Moderator zwingend nicht die Tür mit dem Auto und die die der Kandidat gewählt hat aufdecken darf, kann er nur Tür zwei aufdecken, logischerweise eine Ziege. In diesem Fall sollte der Kandidat wechseln=🙁.
Mehr mögliche Fälle gibt es nicht, also
Fazit:
2x🙂 „Er sollte nicht wechseln.“
2x🙁 „Er sollte wechseln.“
=2/4=1/2=0,5=50%
3 Antworten
Das klingt alles sehr logisch und du hast es schön gemacht, aber deine Fälle sind nicht gleichwahrscheinlich. Daher kannst Du sie nicht einfach gegeneinader aufrechnen.
Die saubere Überlegung ist folgende:
Der Kandiadt mit der Strategie: "ich werde wechseln", hat eine 66%ige Wahrscheinlichkeit das Auto zu bekommen, während der Kandidat mit der Strategie "ich bleibe bei meiner ersten Entscheidung" nur ein 33%ige Wkt hat.
Der "Bleiber" entscheidet sich zu 1/3 für das Auto, während der "Wechsler" dann noch zwei Türen hat hinter denen ein Auto sein kann, aber er hat ja nur mit der Wkt 1/3 am Anfang das Auto gewählt und wechselt dann auf die Tür hinter der das Auto sein MUSS, wenn er am Anfang nicht richtig gelegen hat.
Das ganz steht und fällt mit der vom Moderator geöffneten Tür. Der "Bleiber" nutzt die zusätzliche Information nicht,, während der "Wechsler" seine Fehlerwahrscheinlichkeit mit Hilfe dieser Information auf 1/3 senkt.
Die Fälle sind aber nicht gleichverteilt. Die beiden ersten Fälle treten jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 ein (unabhängig 1/3 für die Türwahl des Kandidaten und 1/2 für die des Moderators), die beiden anderen jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3.
Man kann es sich andersherum vorstellen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 wählt der Kandidat am Anfang eine Tür mit der Ziege. Genau dann gewinnt er, wenn er wechselt.
Aber sind denn auch alle diese 4 Fälle gleich wahrscheinlich?
Die Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel das Auto zu treffen beträgt 66,67%
Das habe ich nicht bedacht😅...Danke für die Erklärung!