Aufleitung mit Integration

Aufleitung f(x)= 10x • e^(-0,25x)? (Schule, Mathematik, Funktion)

Willy1729

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Schule, Mathematik, Funktion

08.02.2018, 21:07

Hallo,

so etwas geht mit partieller Integration (wird in der Schule gelehrt).

Es gilt:

∫f'*g=f*g-∫f*g'

Du hast hier ein Produkt von zwei Funktionen:

f(x)=e^(-0,25x) und g(x)=10x (oder umgekehrt)

Eine der beiden Funktionen wird also als Ableitung einer anderen noch zu bestimmenden Funktion betrachtet.

Welche der beiden das ist, kannst Du dabei selbst entscheiden.

Bei der Entscheidung läßt Du Dich von dem Gedanken leiten, daß Du die gewählte Funktion insgesamt zweimal 'aufleiten' mußt, denn sie taucht noch einmal unter dem Restintegral auf, das ja auch aufgelöst werden muß.

Die andere Funktion wird dagegen nur einmal abgeleitet und ihre Ableitung taucht als Faktor im Restintegral auf.

Es wäre sinnlos, 10x als Ableitung aufzufassen, denn dann wäre eine Stammfunktion dazu 5x² und dazu (5/3)x³ - das Ding würde also immer komplizierter und Du hättest mit dem Restintegral mehr Probleme als Du sie vorher hattest.

Faßt Du dagegen 10x als Funktion auf, deren Ableitung im Restintegral auftaucht, bleibt einfach 10, die als Faktor vor das Integral gezogen werden kann.

Dagegen ist es überhaupt kein Problem, e^(-0,25x) zu integrieren, weil sich diese Funktion bis auf einen konstanten Faktor (1/innere Ableitung, also -4) nicht verändert.

Du faßt daher e^(-0,25x) als f' auf und 10x als g.

Dann ist f*g=-4*e^(-0,25x)*10x=-40x*e^(-0,25x)
und f*g' ist -4e^(-0,25x)*10=-40e^(-0,25x)

f*g-∫f*g' ist dann also

-40x*e^(-0,25x)-∫-40e^(-0,25x)=-40x*e^(-0,25x)+40*∫e^(-0,25x)dx

Das Restintegral ist jetzt leicht aufzulösen (hatten wir ja schon):

-4*e^(-0,25x)

Zusammenbauen:

-40x*e^(-0,25x)+40*(-4)*e^(0,25x)=-40x*e^(-0,25x)-160e^(-0,25x)

Nun können wir noch -40e^(-0,25x) ausklammern:

F(x)=-40e^(-0,25x)*(x+4)+C

Herzliche Grüße,

Willy