Warum kann ich mit dem Integral einer Funktion ihre Fläche berechnen?

Ich verstehe, das Prinzip der Riemann Summe, man lässt die Rechtecke gegen unendlich gehen, bzw. Ihre Breite (die Differenz) gegen 0, Ich verstehe aber nicht was dies mit der Stammfunktion (Aufleitung) zutun hat.

Answer 1

[evtldocha]

Man hat Euch doch sicher an Beispielen gezeigt, dass der Grenzwert von Ober- und Untersummen im Sinne des Riemann Integrals eine Stammfunktion ist, wenn man die Summe allgemein für eine beliebige obere Intervallgrenze "x" bestimmt.

Einfaches Beispiel: f(x) = x und bilde die Obersumme von 0 bis zu einem bestimmten x bei n gleichen Intervallen der Bereite x/n:

$O\left(n\right)\ =\ \sum_{k=1}^n\frac{x}{n}\cdot f\left(k\cdot\frac{x}{n}\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nx\cdot k\cdot x\ =\frac{1}{n^2}x^2\sum_{k=1}^nk\ =x^2\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n\cdot\left(n+1\ \right)}{2}$ $=x^2\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)$

Damit folgt:

$\lim_{n\rightarrow\infty}O\left(n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}x^2\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}x^2+0\ =\ \frac{1}{2}x^2$

(Natürlich kann man das nicht für alle Funktion selbst machen und greift dann auf die Ergebnisse anderer zurück).

Answer 2

[Halbrecht]

Die Stammfunktion ist etwas geniales .

Die Mathematik hat gezeigt ,dass man F nutzen kann , um schnell zum Flächeninhalt zu kommen

Wenn man die Fläche von f(x) = x² + 2 unter der Parabel von 1 bis 5 berechnen will , kann man das rechenintensiv mit der Riemann-Methode machen
oder mit der Stammfkt von x² + 2 . Die ist 1/3 * x³ + 2x + C

Bildet man nun 1/3 * 5³ + 2*5 + C - ( 1/3 * 1³ + 2*1 + C ) hat man die Fläche sofort .
(C fällt weg)

Wichtig noch : F'(x) = f(x)

Answer 3

[PWolff]

Am besten schauen wir uns eine Treppenfunktion an, bzw. nehmen Rechtecke, die zwar schmal, aber nicht infinitesimal schmal sind.

Die Integralfunktion J(x) gibt die Fläche unter der Kurve zu f(x) an. Von x bis (x+h) kommt der Flächeninhalt des letzten Rechtecks hinzu:

J(x+h) = J(x) + h * f(x)

Wenn wir jetzt die Ableitung von J bestimmen:

( J(x+h) - J(x) ) / h = ( J(x) + h * f(x) - J(x) ) / h = f(x)

bekommen wir gerade wieder f(x) heraus, d. h. J(x) ist gleich der (einer) Stammfunktion F(x) von f(x).

(Vorausgesetzt natürlich, die Ableitungen existieren alle.)